Regras de inferencia
| Legenda | |
|---|---|
| α, β, γ | Sao formulas bem formadas. |
| ψ | E um relator (P, Q, R...) |
| c, c´, c´´... | E uma constante de individuo (a, b, c...) |
| v, v´, v´´ | E uma variavel de individuo (x, y, z...) |
REGRAS BASICAS
| B | ^ | v | → | ↔ | ¬ | ∀ | ∃ | = | ι |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (I) |
α β -- α ∧ β
|
α --- αVβ |
┌α |... ┗β --- α→β |
α→β β→α --- α↔β |
┌ ¬α |......... ┗β∧¬β ----- α
|
α --- ∀vα |
α --- ∃vα |
ψϲ -- ∀v(v=ϲ →ψv) |
ψ(ιvα) --- ∃v∀v´ ( α ↔ x=y) |
| (E) |
α ∧ β -- α β
|
┌α |... ┗ γ ┌β |... ┗ γ --- γ |
α→β α --- β |
α↔β ---- α→β β→α |
¬¬α ---- α |
∀vα --- α
|
∃vα --- α |
∀v(v=ϲ →ψv) -- ψϲ |
∃v∀v´ ( Φ ↔ x=y) --- ψ(ιvΦ) |
REGRAS DERIVADAS
Regras derivadas da implicacao
| REGRAS | → |
|---|---|
| Transitiva do condicional (Tr→) | α→β β→γ ---- α→γ |
| Modus Tollens (MT) | α→β ¬β ---- ¬α |
| Dilemas (Dil) | Dil1 α ∨ β α→γ β→γ ---- γ
Dil2 ¬α ∨ ¬β γ→α γ→β ---- ¬γ |
| Carga de premissas (CrPr) | β ---- α→β |
| Contraposicao (Ctrp) | α→β ---- ¬β→¬α |
| Mutacao do condicional (Mut →) | α→(β→γ) ---- β→(α→γ) |
| Importacao/Exportacao(Imp/Exp) | α→(β→γ) ---- α^β→γ |
| Monotonia (Mon) | α→β ---- α ∧ γ→β |
Regras derivadas da conjuncao / disjuncao
| REGRAS | ^ | v |
|---|---|---|
| Silogismo Disjuntivo (SD) | α ∨ β ¬α ---- β
α ∨ β ¬β ---- α |
|
| Idempotencia (Idp ∧ / Idp v) | α ∧ α ----- α |
α ∨ α ---- α |
| Absorcao (Absc ^/Absc v) | α ∧ (α ∨ β) ---- α |
α ∨ (α ∧ β) ---- α |
| Comutativa (Conm ^) | α ∧ β ---- β ∧ α |
α ∨ β ---- β ∨ α |
| Associativa (Asoc ^/Asoc v) | (α ∧ β) ∧ γ ---- α ∧ (β ∧ γ) |
(α ∨ β) ∨ γ ---- α ∨ (β ∨ γ) |
| Distributiva (Dist ^/Dist v) | α ∧ (β ∨ γ) ---- (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) |
α ∨ (β ∧ γ) ---- (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) |
Regras derivadas dos quantificadores
| REGRAS | ∀ | ∃ | ||
|---|---|---|---|---|
| Negacao de Generalizador ou Particularizador (Neg Gen ou Neg Par) | ¬∀vα ---- ∃v¬α |
¬∃vα ---- ∀v¬α |
||
| Descida do quantificador (Des Cuant) | ∀vα ---- ∃vα |
---- | ||
| Mutacao de variavel (Mut Var) | ∀vα ---- ∀v´α |
∃vα ---- ∃v´α |
||
| Contracao do Generalizador ou Particularizador (Contrac Gen Disy ou Contrac Part Cond) | ∀vα ∨ ∀vβ ---- ∀v(α ∨ β) |
∃vα → ∃vβ ---- ∃v(α → β) |
||
Permutacoes de generalizadores (Perm Gen) |
∀v∀v´α ----- ∀v´∀vα |
∃v∃v´α ----- ∃v´∃vα |
||
∃v∀v´α ----- ∀v´∃vα |
||||
| Distributiva do Generalizador ou Particularizador em conjuncao (Dist Gen ∧ / Dist Part ^) | ∀v(α ∧ β) ---- ---- ∀vα ∧ ∀vβ |
∃v(α ∧ β)
---- ∃vα ∧ ∃vβ |
||
| Distributiva do Particularizador na disjuncao ( Dist Part v) | ---- | ∃v(α ∨ β) ---- ---- ∃vα ∨ ∃vβ |
||
| Distribuicao de Generalizador e Particularizador em condicional (Dist Gen →/Dist Part →) | ∀v(α→β) ----
∀vα→∀vβ |
∃v(α→β) ---- ---- ∀vα→∃vβ |
||
| Distribuicao de Generalizador em Bicondicional (Dist Gen ↔) | ∀v(α↔β)
----
∀vα↔∀vβ |
|||
Distribuicao Condicionada generalizador para conjuncao, disjuncao, antecedente e consequente. (Dist Gen ^/v/Antec/Consec) |
α ∧ ∀vβ ---- ∀v(α ^β) |
α ∨ ∀vβ ---- ∀v(α vβ) |
∀vβ → α --- ∃v(β →α) |
α→∀vβ ---- ∀v(α→β) |
Distribuicao Condicionada particularizador para conjuncao, disjuncao, antecedente e consequente. (Dist Part) ^/v/Antec/Consec) |
α ∧ ∃vβ ---- ∃v(α ^β) |
α ∨ ∃vβ ---- ∃v(α vβ) |
∃vβ → α --- ∀v(β →α) |
α→∃vβ ---- ∃v(α→β) |
Regras derivadas da identidade
| REGRAS | = |
|---|---|
| Leibniz1 | c=c' ψc ---- ψc' |
| Leibniz2 | c=c' ψc´ ---- ψc
|
| Leibniz3 | ψc ¬ψc´ ---- c≠c´ |
| Leibniz4 | ¬ψc ψc´ ---- c≠c´ |
| Reflexiva da identidade (Refl =) | ---- c=c' |
| Simetrica da identidade (Sim =) | c = c´ ---- c´= c |
| Transitiva da identidade (Tr =) | c=c' c´=c´´ ---- c = c´´ |
| Indiscernibilidade (Indescer) | c=c' ---- ψc↔ψc´ |
| Euclides | c=c' ---- fc=fc´ |
Regras de definicao
| REGRAS | Conetor 1 | Conetor 2 |
|---|---|---|
| DM ^/v v/v | ¬(α ∧ β) ---- ¬α ∨ ¬ β |
¬(α ∨ β) ---- ¬α ∧ ¬ β |
| Definicao ^/v v/^ | α ∧ β ---- ¬(¬α ∨ ¬ β) |
α ∨ β ---- ¬(¬α ∧ ¬ β) |
| Definicao ^/→ v/→ | α ∧ β ---- ¬(α → ¬ β) |
α ∨ β ---- ¬α → β |
| Definicao ∃/∀ ∀/∃ | ∀vα ---- ¬∃v¬α |
∃vα ---- ¬∀v¬α |
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