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(1) Realiza a seguinte formalizacao destas proposicoes compostas da linguagem natural em logica de proposicoes:

 

[1] Chove e esta frio.

p ∧ q

[2] Nao chove e esta frio.

¬p ∧ q

[3] Chove ou esta frio.

p ∨ q

[4] Ou bem, chove, ou bem, esta frio.

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

[5] Chove e esta frio, ou neva.

(p ∧ q) ∨ r

[6] Nao e verdade que chova e faca frio.

¬(p ∧ q)

[7] Nao e verdade que nao chova e nao faca frio.

¬(¬p ∧ ¬q)

[8] Se chove, esta frio.

p → q

[9] Se chove, entao se esta frio, nevara.

p → (q → r)

[10] Nao e verdade que se chove e neva ou esta frio, tenha que estar frio.

¬[(p ∧ r) ∨ q → q]

 

(2) Realiza a formalizacao destas proposicoes compostas da linguagem natural em logica de proposicoes:

 

[11] E loiro e tem os olhos azuis ou e alto.

(p ∧ q) ∨ r

[12] Nao e verdade que seja loiro e tenha olhos azuis.

¬(p ∧ q)

[13] Nao e loiro e nao tem os olhos azuis.

¬p ∧ ¬q

[14] Quando chove a terra molha-se.

p → q

[15] Se o cao voltar a ladrar, mordo-o.

p → q

[16] Continua a agitar o copo e a agua derramara.

p → q

[17] Come e cala.

p ∧ q

[18] Havia pedacos de metal, jornais, restos de comida.

p ∧ q ∧ r

[19] A lua e indiferente aos nossos versos, se nao fosse teria ido embora ha muito tempo.

p ∧ (¬p → q)

[20] Que chova nao implica que a terra se molhe.

¬(p → q)

[21] Quando chove a terra molha-se, mas nao e verdade que se molhe so quando chove.

(p → q) ∧ ¬(q → p)

[22] Se como muito, engordo. E se engordo sinto-me mal.

p → q, q → r

[23] Se estudo, da-me sono. Se me da sono, durmo. Se durmo, levanto-me nervoso por nao ter estudado. Se me levanto nervoso por nao ter estudado, entao estudo. Logo, da-me sono.

Variaveis:

p = Estudo

q = Da-me sono

r = Durmo

s = Levanto-me nervoso

 

Formalizacao:

p → q, q → r, r → (¬p ∧ s), (¬p ∧ s) → p ⊦ q

[24] Se o rei da Argentina e calvo, entao ha um rei da Argentina. Se o rei da Argentina nao e calvo, entao ha um rei da Argentina. Nao ha um rei da Argentina. Portanto, o rei da Argentina e calvo se e so se o rei da Argentina nao e calvo.

p → q, ¬p → q, ¬q ⊦ p ↔ ¬p

[25] Se o mal existe no mundo e nao se origina nas acoes dos seres humanos, entao Deus nao pode ou nao quer impedi-lo. O mal existe no mundo. Se Deus nao pode impedir que haja mal neste mundo, entao nao e omnipotente. Se Deus nao quer impedir a existencia do mal, entao nao e bondoso. Mas Deus e omnipotente e bondoso. Portanto, o mal que existe neste mundo tem a sua origem nas acoes do ser humano.

p ∧ ¬q → (¬r ∨ ¬s), p, ¬r → ¬t, ¬s → ¬w, t ∧ w ⊦ q

 

(3) Formaliza as seguintes frases hipoteticas de forma correta conforme a logica proposicional:

 

[26] Se queres um cao, entao deves ter tempo.

p → q

[27] So se nao levares sapatilhas, poderas entrar na discoteca.

q → ¬p

"So se" indica que a condicao e necessaria, nao suficiente.

[28] Podes vir a minha casa sempre que quiseres.

p → q

"Sempre que" equivale a "se".

[29] E suficiente tirar um 5 para entrar na universidade.

p → q

"E suficiente" indica condicao suficiente.

[30] E necessario apresentar-se ao exame para entrar na universidade.

q → p

"E necessario" indica condicao necessaria.

[31] Para ter amigos, deves ter saude, dinheiro, fama e carisma.

p → (q ∧ r ∧ s ∧ t)

[32] A menos que impecas o homicidio, o agente conseguira o seu objetivo.

¬p → q

"A menos que" equivale a "se nao".

[33] A nao ser que compres muita comida, em breve acabara.

¬p → q

"A nao ser que" equivale a "se nao".

[34] So alcançaras o sucesso, se tiveres as melhores notas.

p → q

[35] Quando passares, tudo sera maravilhoso.

p → q

[36] O Adrian e professor de logica unica e exclusivamente se tiver um titulo.

p ↔ q

"Unica e exclusivamente se" indica bicondicional.

[37] Caso gostes dos exercicios, contratarás o professor.

p → q

[38] Basta que chegue o Joao, para arruinar a festa.

p → q

"Basta que" indica condicao suficiente.

[39] E imprescindivel a companhia do Paulo para que a noite esteja completa.

q → p

"E imprescindivel" indica condicao necessaria.

[40] Quando alguem faz o que pode, nao esta obrigado a fazer mais.

p → ¬q

 

(4) Formaliza os seguintes argumentos com disjuncao mediante logica proposicional:

 

[41] Ou compras uma PlayStation ou uma Nintendo.

p ∨ q

Disjuncao inclusiva.

[42] Ou passas ou chumbas.

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

Disjuncao exclusiva: nao podes passar e chumbar ao mesmo tempo.

[43] Ou bem, esta solteiro, ou bem, nao esta.

p ∨ ¬p

Tautologia: principio do terceiro excluido.

[44] Procura-se alguem que tenha dominio de ingles ou alemao.

p ∨ q

Disjuncao inclusiva: pode saber ambos os idiomas.

[45] Ou bem e uma proposicao analitica ou bem uma proposicao sintetica.

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

Disjuncao exclusiva: uma proposicao nao pode ser ambas.

 

(5) Realiza a formalizacao dos seguintes argumentos com logica de predicados mediante quantificacao simples:

 

[46] Toda a gente e mortal. Logo ninguem e imortal.

∀xMx ⊦ ¬∃x¬Mx

[47] Os paises do terceiro mundo nao estao industrializados. Alguns paises do terceiro mundo possuem grandes riquezas. Portanto, ha paises do terceiro mundo que possuem grandes riquezas e nao estao industrializados.

∀x(Px ∧ Tx → ¬Ix), ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx) ⊦ ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx ∧ ¬Ix)

[48] Nenhum desportista que aspire a participar nas olimpiadas ingere bebidas alcoolicas. Ha desportistas que ingerem bebidas alcoolicas. Portanto, alguns desportistas nao participam nas olimpiadas.

∀x(Dx ∧ Ax → ¬Ix), ∃x(Dx ∧ Ix) ⊦ ∃x(Dx ∧ ¬Ax)

[49] Os medicos e os engenheiros sao profissionais. Os profissionais e os diretores sao respeitados. Logo, os medicos sao respeitados.

∀x(Mx ∨ Ix → Px), ∀x(Px ∨ Dx → Rx) ⊦ ∀x(Mx → Rx)

[50] Existem homens inteligentes. Logo, nao e o caso que nenhum homem seja inteligente.

∃x(Hx ∧ Ix) ⊦ ¬∀x(Hx → ¬Ix)

[51] Os filosofos e so eles sao inteligentes. Portanto, os que nao sao filosofos nao sao inteligentes.

¬∃x(¬Fx ∧ Ix) ⊦ ∀x(¬Fx → ¬Ix)

[52] Nenhum ser perfeito e imoral. Qualquer individuo que nao valorize a honestidade intelectual e imperfeito. Nenhum individuo moral que valorize a honestidade intelectual pode condenar o agnosticismo. Do que se segue que se Deus e perfeito nao pode condenar o agnosticismo.

∀x(Px → Mx), ∀x(¬Hx → ¬Px), ∀x(Mx ∧ Hx → ¬Cx) ⊦ Pd → ¬Cd

[53] As proposicoes matematicas sao necessarias. So as proposicoes sinteticas tem conteudo. Nao ha proposicoes sinteticas a priori. Toda proposicao e ou bem a priori ou bem a posteriori. Portanto, as proposicoes da matematica sao sinteticas a posteriori.

∀x(Mx → Nx), ¬∃x(¬Sx ∧ Cx), ¬∃x(Sx ∧ Ax), ∀x[Ax ∨ Bx ∧ ¬(Ax ∧ Bx)] ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Bx)

[54] As proposicoes matematicas sao necessarias. As proposicoes a posteriori nao sao necessarias. As proposicoes matematicas tem conteudo. So as proposicoes que tem conteudo sao sinteticas. Portanto, as proposicoes matematicas sao sinteticas a priori.

∀x(Mx → Nx), ∀x(Bx → ¬Nx), ∀x(Mx → Cx), ¬∃x(¬Cx ∧ Sx) ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Ax)

 

(6) Realiza a formalizacao dos seguintes argumentos com logica de predicados mediante quantificacao multipla:

 

[55] Se Watson pode apanhar Moriarty, Holmes pode. Holmes nao pode. Portanto, Watson tambem nao.

Awm → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬Awm

[56] So Holmes pode apanhar Moriarty. Holmes nao pode. Logo, ninguem pode.

∀x(Axm → Ahm), ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)

[57] Se alguem pode apanhar Moriarty, entao Holmes pode. Holmes nao pode. Logo nao existe ninguem que possa apanha-lo.

∃x(Axm) → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)

[58] Toda a gente esta relacionada com toda a gente. Portanto, toda a gente esta relacionada consigo mesma.

∀x∀y(Rxy) ⊦ ∀x(Rxx)

[59] Todo rapaz e mais jovem que o seu pai. O Carlos e um rapaz que nao e mais jovem que o Luis. Quem quer que esteja casado com a Maria e o pai do Carlos. Portanto, o Luis nao esta casado com a Maria.

∀x(Cx → Jxf(x)), Cc ∧ ¬Jcl, ∀x(Mxm → x = f(c)) ⊦ ¬Mlm

[60] Todo empirista admira Hume. Alguns idealistas nao estimam ninguem que admire Hume. Em consequencia, alguns idealistas nao estimam nenhum empirista.

∀x(Ex → Axh), ∃x(Ix ∧ ∀y(Ayh → ¬Exy)) ⊦ ∃x(Ix ∧ ∀y(Ey → ¬Exy))

[61] Ha um homem a quem todos os homens admiram. Portanto, ha pelo menos um homem que se admira a si mesmo.

∃x(Hx ∧ ∀y(Hy → Ayx)) ⊦ ∃x(Hx ∧ Axx)

[62] Os coroneis mandam sobre os sargentos e os sargentos sobre os soldados. Todo o que e mandado por outro recebe ordens dele. Qualquer um que manda num que por sua vez manda num terceiro, manda nesse terceiro. P e Coronel, H e Sargento e B e soldado. Portanto, B recebe ordens de P.

∀x∀y(Cx ∧ Sy → Mxy), ∀x∀y(Sx ∧ Dy → Mxy), ∀x∀y(Mxy → Ryx), ∀x∀y∀z(Mxy ∧ Myz → Mxz), Cp, Sh, Db ⊦ Rbp

[63] E um delinquente quem vende uma pistola que nao esta registada. Todas as armas que o Joao possui foram compradas por ele na loja do Luis ou na do Jose. Assim, se uma das armas do Joao e uma pistola que nao esta registada, entao, se o Joao nunca comprou nada na loja do Jose, o Luis e um delinquente.

∀x∀y(Vxy ∧ Py ∧ ¬Ry → Dx), ∀x(Ajx → Cxl ∨ Cxj) ⊦ ∃x(Ajx ∧ Px ∧ ¬Rx) → (¬∃x(Cxj) → Dl)

[64] Qualquer um que leia Freud vai interpreta-lo erroneamente a menos que tenha formacao psiquiatrica. Todo o que le Freud e o interpreta erroneamente contribui para a sua propria doenca mental. Uma pessoa imatura e incapaz de interpretar corretamente Freud. Nem todo o que le Freud e tem formacao psiquiatrica e uma pessoa madura. Portanto, ha pessoas com formacao psiquiatrica que contribuem para a sua propria doenca mental.

∀x(Lxf ∧ ¬Px → Ix), ∀x(Lxf ∧ Ix → Cx), ∀x(¬Mx → Ix), ¬∀x(Lxf ∧ Px → Mx) ⊦ ∃x(Px ∧ Cx)

 

(7) Realiza a formalizacao destas proposicoes compostas com logica de predicados com functores e identidade:

 

[65] O pai do Pedro e o Luis.

f(p) = l

Onde f(x) = "o pai de x"

[66] O pai do Pedro e arbitro de futebol.

Af(p)

Onde f(x) = "o pai de x", A = "e arbitro de futebol"

[67] A soma de dois e tres e um numero primo.

Ps(2,3)

Onde s(x,y) = "a soma de x e y", P = "e numero primo"

[68] Ha pelo menos dois numeros naturais cuja soma e igual a seis.

∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,y) = 6)

[69] Ha pelo menos dois numeros naturais tais que a sua soma consigo mesma e igual ao seu produto consigo mesmo.

∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,x) = p(x,x) ∧ s(y,y) = p(y,y))

[70] Para todo numero natural, o produto desse numero consigo mesmo e igual ao quadrado desse numero.

∀x(Nx → p(x,x) = c(x))

Onde p(x,y) = "produto de x e y", c(x) = "quadrado de x"

[71] O quadrado de tres e par.

Pc(3)

Onde c(x) = "quadrado de x", P = "e par"

[72] O produto de tres por quatro e multiplo de dois.

Mp(3,4)2

Onde M = "e multiplo de"

[73] O produto de dois por qualquer numero natural e par.

∀x(Nx → Pp(2,x))

[74] Nao e certo que o tres seja divisor do cubo de todo numero natural impar.

¬∀x(Nx ∧ Ix → D3cb(x))

Onde cb(x) = "cubo de x", D = "e divisor de", I = "e impar"

 

(8) Realiza a formalizacao das proposicoes compostas que aparecem a seguir com logica de predicados com functores, descritores e identidade:

 

[75] O cubo de dois e igual ao produto de dois por quatro.

cb(2) = p(2,4)

[76] Existem dois numeros naturais tais que o seu produto e igual a cinco.

∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ p(x,y) = 5)

[77] Nao existem dois numeros naturais tais que o seu produto e igual a cinco.

¬∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ p(x,y) = 5)

[78] Existe um numero natural cujo quadrado e o cubo de quatro.

∃x(Nx ∧ c(x) = cb(4))

[79] Existe um numero natural cujo cubo e divisor de qualquer numero natural impar.

∃x(Nx ∧ ∀y(Ny ∧ Iy → Dcb(x)y))

[80] O autor do Capital e Marx.

ιx(Axc) = m

Onde ι e o descritor definido

[81] O escritor da Republica e Platao.

ιx(Exr) = p

[82] O autor do Alquimista e escritor.

Eιx(Axa)

[83] O professor de logica da faculdade de ciencias de Zaragoza estudou filosofia.

Fιx(Pxlz)

Onde P = "e professor de logica em", F = "estudou filosofia"

[84] O diretor do Adrian e um excelente investigador.

Iιx(Dxa)

Onde D = "e diretor de", I = "e excelente investigador"

 

(9) Realiza a seguinte formalizacao das proposicoes compostas que aparecem a seguir com logica de predicados com quantificacao numerica:

 

[85] Ha no minimo um Deus.

∃xDx

[86] Ha no minimo dois Deuses.

∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)

[87] Ha no maximo um Deus.

∀x∀y(Dx ∧ Dy → x = y)

Ou equivalentemente: ¬∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)

[88] Ha no maximo dois Deuses.

∀x∀y∀z(Dx ∧ Dy ∧ Dz → x = y ∨ x = z ∨ y = z)

[89] Ha exatamente um Deus.

∃x(Dx ∧ ∀y(Dy → x = y))

Pelo menos um e no maximo um.

[90] Ha exatamente dois Deuses.

∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y ∧ ∀z(Dz → z = x ∨ z = y))

[91] Algum filosofo domestica exatamente um tigre.

∃x(Fx ∧ ∃y(Ty ∧ Dxy ∧ ∀z(Tz ∧ Dxz → z = y)))

[92] Um tigre e domesticado por exatamente um filosofo.

∃x(Tx ∧ ∃y(Fy ∧ Dyx ∧ ∀z(Fz ∧ Dzx → z = y)))

[93] Pelo menos dois juizes de linha que usam no maximo uma bandeirola.

∃x∃y(Jx ∧ Jy ∧ x ≠ y ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uxz ∧ Uxw → z = w) ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uyz ∧ Uyw → z = w))

[94] Exatamente dois juizes de linha usam exatamente a mesma bandeirola.

∃x∃y∃z(Jx ∧ Jy ∧ Bz ∧ x ≠ y ∧ Uxz ∧ Uyz ∧ ∀w(Jw ∧ Uwz → w = x ∨ w = y))

 

(10) Realiza a formalizacao dos seguintes argumentos com logica de predicados:

 

[95] Um extravagante professor de uma universidade fixou as suas horas de tutoria das 6 as 7 da manha, sob o seguinte raciocinio: "Os estudantes que precisem de falar comigo virao ao meu gabinete mesmo a essa hora, mas os que nao precisarem nao virao. Assim sendo, um estudante vira ao meu gabinete se e so se precisar de falar comigo."

∀x(Ex ∧ Nxa → Dxa), ∀x(Ex ∧ ¬Nxa → ¬Dxa) ⊦ ∀x(Ex → (Dxa ↔ Nxa))

[96] Quando, na sua viagem pelo pais das maravilhas, Alice se dirige ao gato, que de repente apareceu no alto de uma arvore, e lhe pergunta por uma direcao o gato diz-lhe: "Aqui estamos todos loucos: tu estas louca, eu estou louco." "Como sabes que tu estas louco?" respondeu Alice. "Para comecar -disse o gato- um cao nao esta louco. Estas de acordo?... Bem, entao -continuou o gato- um cao rosna quando esta zangado, e abana a cauda quando esta contente. Ora bem, eu rosno quando estou contente e abano a cauda quando estou zangado. Portanto, eu estou louco."

Variaveis:

Px = x e cao, Lx = x esta louco, Gx = x rosna, Mx = x abana a cauda, Ex = x esta zangado, Cx = x esta contente, g = o gato

 

Formalizacao:

∀x(Px → ¬Lx), ∀x(Px ∧ Ex → Gx), ∀x(Px ∧ Cx → Mx), Cg → Gg, Eg → Mg ⊦ Lg

[97] Existe uma ilha povoada exclusivamente por "cavaleiros" e "escudeiros". O unico que diferencia uns dos outros e que os primeiros dizem sempre a verdade e os segundos mentem sempre. Numa ocasiao em que tres dos habitantes -A, B, C- se encontraram no jardim, um estrangeiro que por ali passava perguntou a A "Es cavaleiro ou escudeiro?" A respondeu mas tao confusamente que nao conseguiu ouvir o que dizia. Entao o estrangeiro perguntou a B "O que disse?" e B respondeu-lhe que "A disse que e escudeiro". Mas no instante o terceiro homem C replicou: "Nao acredites em B, que esta a mentir."

Analise:

- Se A e cavaleiro, diz a verdade, por isso diria "sou cavaleiro".

- Se A e escudeiro, mente, por isso tambem diria "sou cavaleiro".

- Portanto, A disse "sou cavaleiro".

- B diz que A disse "sou escudeiro", o que e falso. Logo B e escudeiro.

- C diz que B mente, o que e verdade. Logo C e cavaleiro.

 

Conclusao: B e escudeiro, C e cavaleiro. Nao se pode determinar o que e A.

[98] Durante a apresentacao do sumario relativo a um importante roubo ocorrido em Londres, o inspetor Craig perguntou ao seu ajudante, o sargento McPherson: "O que faria voce com estes factos?": (1) Se A e culpado e B inocente, entao C e culpado. (2) C nunca trabalha sozinho. (3) A nunca trabalha com C. (4) Ninguem diferente de A, B, C estava implicado, e pelo menos um deles e culpado.

Formalizacao:

1. (Ca ∧ ¬Cb) → Cc

2. Cc → (Ca ∨ Cb)

3. ¬(Ca ∧ Cc)

4. Ca ∨ Cb ∨ Cc

 

Analise:

De (3): Se C e culpado, A e inocente.

De (2): Se C e culpado, A ou B e culpado. Com (3), B deve ser culpado.

De (1): Se A culpado e B inocente → C culpado. Com (3), isto forca: se A culpado, B culpado.

 

Conclusao: B e culpado. A pode ou nao ser culpado. Se A e culpado, B tambem o e.

[99] O Sr. McGregor, um comerciante londrino, telefonou para Scotland Yard para dizer que a sua loja tinha sido roubada. Detiveram-se tres suspeitos -A, B, C- para serem interrogados e estabeleceram-se os seguintes factos: (1) Cada um dos tres homens esteve na loja no dia do roubo, e mais ninguem esteve na loja. (2) Se A era culpado, entao tinha um cumplice, e so um. (3) Se B era inocente, tambem o era C. (4) Se dois e so dois sao culpados, entao A e um deles. (5) Se C e inocente, tambem o e B. A quem inculpou o inspetor Craig?

Formalizacao:

1. Todos estavam na loja, mais ninguem implicado.

2. Ca → [(Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Cc ∧ ¬Cb)]

3. ¬Cb → ¬Cc

4. [(Ca ∧ Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Ca ∧ ¬Cb ∧ Cc) ∨ (¬Ca ∧ Cb ∧ Cc)] → Ca

5. ¬Cc → ¬Cb

 

Analise:

De (3) e (5): B e inocente ↔ C e inocente. Sao ambos culpados ou ambos inocentes.

De (2): Se A e culpado, tem exatamente um cumplice. Mas B e C vao juntos.

Portanto: A e inocente. B e C sao culpados.

 

Conclusao: O inspetor Craig inculpou B e C.