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Exercicios resolvidos de teoria de conjuntos

(1) Define por intensao (por descricao ou compreensao) os seguintes conjuntos definidos por extensao (ou por enumeracao):

 

[Exercicio 1] P={Faro, Lisboa, Porto, Coimbra, Braga, Aveiro, Setubal, Leiria}

P= {x/ x e distrito de Portugal}

[Exercicio 2] P={ Antioquia, Bolivar, Boyoca, Caldas, Cauca, Choco, Cundinamarca, Huila, La Guajira, Meta, Nirino, Norte de Santander, Santander, Sucre, Tolima, Valle del Cauca }

P= {x/ x e departamento da Colombia}

[Exercicio 3] P={1,2,3,4,5,6,7,8,9...}

P= {x/ x ∈ N} (x e numero natural)

[Exercicio 4] P={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

P= {x/ x ∈ Z} (x e numero inteiro)

[Exercicio 5] P={Teoria de conjuntos, Teoria de modelos, Teoria de demonstracao, Teoria da computabilidade...}

P= {x/ x e um ramo da logica matematica}

[Exercicio 6] P={ <Julio Iglesias de la Cueva, Enrique Iglesias>, <Julio Iglesias de la Cueva, Julio Jose Iglesias>}

P= {<x,y> ∈ CxC/ y e filho do cantor x} Sendo C={x/x e cantor}

[Exercicio 7] P={5, 10, 15, 20...}

P= {x/ x e multiplo de 5}

[Exercicio 8] P= {...<1,-1>, <2, -2> <3, -3>, <4, -4>, <5, -5>...}

P= {<x,y> ∈ ZxZ/ y = -x}

[Exercicio 9] P={<Luis Gutierrez Alvarez, 76849912A>, <Adrian Gomez Lerin, 48593254Z>, <Antonio Banderas Rodillo, 65749934H}

P= {<x,y> ∈ HxD/ y e o BI de x} Sendo H=pessoas e D=numeros de BI

[Exercicio 10] P={<1,1>, <2,4>, <3, 9>, <4,16>, <5,25>...}

P= {<x,y> ∈ NxN/ y = x^2}

 

(2) Define por extensao os seguintes conjuntos definidos por intensao:

 

[Exercicio 11] P={x ∈ H/ x e do grupo dos Jackson Five}

P= {Michael Jackson, Jackie Jackson, Tito Jackson, Jermaine Jackson, Marlon Jackson}

[Exercicio 12] P={x/x e integrante dos Beatles}

P= {John Lennon, Paul McCartney, George Harrison, Ringo Starr}

[Exercicio 13] P= {x/ x^2 - 4=0}

x^2 - 4 = 0 → x^2 = 4 → x = ±2

P= {2, -2}

[Exercicio 14] P={x/ x^2 - 48x + 578 = 0}

Usando a formula quadratica: x = (48 ± raiz(2304-2312))/2

Como o discriminante e negativo, P= O (conjunto vazio)

[Exercicio 15] P={x / x e um dos livros de Harry Potter}

P= {Harry Potter e a Pedra Filosofal, Harry Potter e a Camara Secreta, Harry Potter e o Prisioneiro de Azkaban, Harry Potter e o Calice de Fogo, Harry Potter e a Ordem da Fenix, Harry Potter e o Principe Misterioso, Harry Potter e os Talismas da Morte}

[Exercicio 16] P={x/x e um biotipo}

P= {Ectomorfo, Mesomorfo, Endomorfo}

[Exercicio 17] P={<x,y> ∈ N x N/ y= x+1}

P= {<1,2>, <2,3>, <3,4>, <4,5>, <5,6>...}

[Exercicio 18] P={<x,y> ∈ NxN/ x+y=170}

P= {<1,169>, <2,168>, <3,167>, ... <85,85>, ... <169,1>}

[Exercicio 19] P={<x,y> ∈ SxA/ y e o codigo ascii de x} Sendo S um simbolo informatico e A um numero ASCII.

P= {<NULL,0>, <SOH,1>, <STX,2>, <ETX,3>, ... <A,65>, <B,66>, ... <a,97>...}

[Exercicio 20] P={<x,y> ∈ NxR/ x e o numero que corresponde a y} Sendo N os numeros naturais e sendo R os numeros expostos dentro do sistema de numeracao romano.

P= {<1,I>, <2,II>, <3,III>, <4,IV>, <5,V>, <6,VI>, <7,VII>, <8,VIII>, <9,IX>, <10,X>...}

 

(3) Realiza as seguintes operacoes entre conjuntos e representa-os graficamente mediante diagramas de Venn:

 

Sendo A= {0,1,2}, B={0,1,{2}} C={4,5} representa e calcula as seguintes operacoes:

 

[Exercicio 21] A ∩ B

A ∩ B = {0, 1}

Os elementos comuns a A e B sao 0 e 1. Nota: {2} ∈ B mas 2 ∈ A, sao diferentes.

[Exercicio 22] A ∪ B

A ∪ B = {0, 1, 2, {2}}

A uniao inclui todos os elementos de ambos os conjuntos.

[Exercicio 23] A - C

A - C = {0, 1, 2}

Como A e C sao disjuntos (nao tem elementos em comum), A - C = A

[Exercicio 24] A ∪ B ∪ C

A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, {2}, 4, 5}

[Exercicio 25] A ∩ (B ∪ C)

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}

[Exercicio 26] (B ∪ C) - (A ∩ B)

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ B = {0, 1}

(B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}

[Exercicio 27] P(A) ∩ B

P(A) = {O, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}

P(A) ∩ B = {{2}}

O unico elemento que esta em P(A) e em B e {2}

[Exercicio 28] A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)

B ∩ C = O

A ∪ (B ∩ C) = A ∪ O = {0, 1, 2}

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}

A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2} - {0, 1} = {2}

[Exercicio 29] A ∩ A - A ∪ A

A ∩ A = A = {0, 1, 2}

A ∪ A = A = {0, 1, 2}

A - A = O

[Exercicio 30] [A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C) - (A ∩ B)]

Do exercicio 28: A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {2}

Do exercicio 26: (B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}

{2} - {{2}, 4, 5} = {2}

Nota: {2} ≠ 2, pelo que 2 nao esta no segundo conjunto.

 

(4) Resolve a validade dos seguintes argumentos mediante diagramas de Venn:

 

[Exercicio 31] "Nenhum empirista e racionalista. Os positivistas sao empiristas. Portanto, nenhum positivista e racionalista."

Conjuntos: E={x/x e Empirista}, R={x/x e racionalista}, P={x/x e positivista}

Formalizacao:

1. E ∩ R = O (Nenhum empirista e racionalista)

2. P ⊆ E (Os positivistas sao empiristas)

Conclusao: P ∩ R = O

O argumento e VALIDO. Se P ⊆ E e E ∩ R = O, entao necessariamente P ∩ R = O.

[Exercicio 32] "Alguns matematicos sao rigorosos. Alguns matematicos falham nos calculos. Todos os matematicos que falham nos seus calculos nao sao rigorosos. Portanto, Todos os matematicos rigorosos nao falham nos calculos."

Conjuntos: M={x/x e matematico}, R={x/x e rigoroso}, F={x/x falha em calculos}

Formalizacao:

1. M ∩ R ≠ O

2. M ∩ F ≠ O

3. (M ∩ F) ∩ R = O

Conclusao: (M ∩ R) ∩ F = O

O argumento e VALIDO. A premissa 3 estabelece que os que falham nao sao rigorosos, o que e equivalente a dizer que os rigorosos nao falham.

[Exercicio 33] "Ha crentes agnosticos e crentes nao agnosticos. Nenhum ateu e crente. Todos os agnosticos sao ateus. Portanto, algum ateu nao e crente nem agnostico."

Conjuntos: C={x/x e crente}, G={x/x e agnostico}, A={x/x e ateu}

Formalizacao:

1. C ∩ G ≠ O (Ha crentes agnosticos)

2. C - G ≠ O (Ha crentes nao agnosticos)

3. A ∩ C = O (Nenhum ateu e crente)

4. G ⊆ A (Todos os agnosticos sao ateus)

Problema: As premissas 1 e 4 juntas implicam C ∩ A ≠ O, mas a premissa 3 diz A ∩ C = O.

As premissas sao INCONSISTENTES.

[Exercicio 34] "Todos os bailarinos sao egocentricos. Alguns egocentricos gostam que os olhem, embora haja outros que nao. Aos que gostam sao bailarinos e aos que nao tambem. Portanto, Todos os egocentricos sao bailarinos."

Conjuntos: B={x/x e bailarino}, E={x/x e egocentrico}, G={x/a x gosta que o olhem}

Formalizacao:

1. B ⊆ E (Todos os bailarinos sao egocentricos)

2. E ∩ G ≠ O e E - G ≠ O (Alguns egocentricos gostam, outros nao)

3. (E ∩ G) ⊆ B e (E - G) ⊆ B

De 3: E ⊆ B

Conclusao: E ⊆ B (Todos os egocentricos sao bailarinos)

O argumento e VALIDO.

[Exercicio 35] "Os filosofos sao amantes da sabedoria. Alguns amantes da sabedoria perseguem o bem. Portanto, alguns filosofos perseguem o bem"

Conjuntos: F={x/x e filosofo}, A={x/x e amante da sabedoria}, P={x/x persegue o bem}

Formalizacao:

1. F ⊆ A (Os filosofos sao amantes da sabedoria)

2. A ∩ P ≠ O (Alguns amantes perseguem o bem)

Conclusao: F ∩ P ≠ O

O argumento NAO e valido. Que alguns amantes da sabedoria persigam o bem nao garante que esses sejam os filosofos. Poderia haver amantes da sabedoria que perseguem o bem mas nao sao filosofos.

 

(5) Simplifica os seguintes conjuntos:

A letra "c" indica que se trata do complemento.

 

[Exercicio 36] (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bc)

(A ∩ B) ∩ (A ∩ Bc)

= A ∩ (B ∩ Bc) [Associativa]

= A ∩ O [B ∩ Bc = O]

= O

[Exercicio 37] (Ac ∩ B)c ∪ (B ∪ Ac)c ∪ A

(Ac ∩ B)c ∪ (B ∪ Ac)c ∪ A

= (A ∪ Bc) ∪ (Bc ∩ A) ∪ A [De Morgan]

= (A ∪ Bc) ∪ A [Absorcao: (Bc ∩ A) ⊆ A]

= A ∪ Bc [Absorcao: A ⊆ (A ∪ Bc)]

= A ∪ Bc

[Exercicio 38] (A ∩ Bc) ∩ (Ac ∩ B)

(A ∩ Bc) ∩ (Ac ∩ B)

= (A ∩ Ac) ∩ (Bc ∩ B) [Comutativa e Associativa]

= O ∩ O

= O

[Exercicio 39] (A ∪ A) - (A ∩ B)

(A ∪ A) - (A ∩ B)

= A - (A ∩ B) [Idempotencia: A ∪ A = A]

= A ∩ (A ∩ B)c [Definicao de diferenca]

= A ∩ (Ac ∪ Bc) [De Morgan]

= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Bc) [Distributiva]

= O ∪ (A ∩ Bc)

= A ∩ Bc (ou A - B)

[Exercicio 40] (A ∩ B) ∪ (Bc ∪ Ac)

(A ∩ B) ∪ (Bc ∪ Ac)

= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)c [De Morgan: Bc ∪ Ac = (A ∩ B)c]

= U (Universo)

 

(6) Realiza as seguintes operacoes mediante a cardinalidade dos seguintes conjuntos:

 

Sendo #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 realiza as seguintes operacoes.

 

[Exercicio 41] Se A e B sao disjuntos, #(A ∪ B)

Se A ∩ B = O (disjuntos):

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)

#(A ∪ B) = 2 + 5 - 0 = 7

[Exercicio 42] Se C e disjunto a (A ∩ B) e A={a,b} e B={b, c, d, f, g}, Qual e a cardinalidade de #((A ∩ B) ∪ C)?

A ∩ B = {b}, portanto #(A ∩ B) = 1

Como C e disjunto a (A ∩ B):

#((A ∩ B) ∪ C) = #(A ∩ B) + #(C) = 1 + 20 = 21

[Exercicio 43] Se A={a,b}, B={b, c, d, f, g} e C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s, t, v} Qual e a cardinalidade de #((B ∩ C) ∪ A)?

B ∩ C = {b, c, d, f, g} (B ⊂ C), #(B ∩ C) = 5

A = {a, b}

(B ∩ C) ∪ A = {a, b, c, d, f, g}

#((B ∩ C) ∪ A) = 6

[Exercicio 44] Sendo todos os conjuntos disjuntos calcula #((A ∪ B) - (A ∩ B))

Se A e B sao disjuntos: A ∩ B = O

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) = 2 + 5 = 7

(A ∪ B) - (A ∩ B) = (A ∪ B) - O = A ∪ B

#((A ∪ B) - (A ∩ B)) = 7

[Exercicio 45] Se C e disjunto e A e B tem dois elementos em comum, calcula #([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A])

#(A ∩ B) = 2

C disjunto a A e B: B ∩ C = O, A ∩ C = O

(A ∩ B) ∪ C: tem 2 + 20 = 22 elementos

(B ∩ C) ∪ A = O ∪ A = A, tem 2 elementos

Como (A ∩ B) ⊆ A: [(A ∩ B) ∪ C] - A = C

#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A]) = #(C) = 20

[Exercicio 46] Suponhamos que uma entidade bancaria realizou um inquerito acerca da situacao economica das familias portuguesas. Segundo os resultados do inquerito, 30% das familias pagavam um credito hipotecario, 40% pagavam um credito para comprar um carro e 10% pagavam creditos de ambos. A entidade deseja saber que percentagem de familias nao pagam nem creditos hipotecarios nem creditos para a compra de um carro.

H = familias com credito hipotecario, C = familias com credito carro

#(H) = 30%, #(C) = 40%, #(H ∩ C) = 10%

#(H ∪ C) = #(H) + #(C) - #(H ∩ C) = 30 + 40 - 10 = 60%

Familias sem nenhum credito: 100% - 60% = 40%

[Exercicio 47] (Exercicio pendente de enunciado)

Exercicio pendente de enunciado.

[Exercicio 48] Suponhamos que numa reuniao ha 40 pessoas que falam alguma das linguas alemao, portugues ou ingles. Sabe-se que 22 falam alemao, 26 nao falam ingles, 30 falam so uma lingua, 30 falam ingles ou alemao, 7 falam ingles mas nao falam portugues e 17 falam alemao mas nao falam portugues. Deseja-se responder a perguntas como: Quantas pessoas falam as tres linguas? Quantas pessoas falam so portugues? Quantas falam portugues mas nao falam ingles?

A = alemao, P = portugues, I = ingles

Total = 40, #(A) = 22, #(Ic) = 26 → #(I) = 14

So uma lingua = 30, #(I ∪ A) = 30

#(I - P) = 7, #(A - P) = 17

#(A ∪ I) = #(A) + #(I) - #(A ∩ I) → 30 = 22 + 14 - #(A ∩ I) → #(A ∩ I) = 6

So portugues = 40 - 30 = 10

Pessoas que falam as tres linguas: Usando inclusao-exclusao, #(A ∩ P ∩ I) = 4

So portugues: 10

Portugues mas nao ingles: #(P) - #(P ∩ I) = 13

[Exercicio 49] De um inquerito conclui-se que um em cada quatro portugueses e adepto de futebol e que um em cada dez e adepto de basquetebol. Nao se dispoe de dados acerca de quantos portugueses partilham ambas as aficoes. Nestas circunstancias nao se pode averiguar com exatidao quantos portugueses tem alguma das duas aficoes, mas pode assegurar-se que a percentagem de portugueses que tem alguma dessas aficoes nao supera os 35%.

F = adeptos futebol (25%), B = adeptos basquetebol (10%)

#(F ∪ B) = #(F) + #(B) - #(F ∩ B)

Minimo de #(F ∩ B) = 0 (disjuntos)

Maximo de #(F ∪ B) = 25 + 10 - 0 = 35%

Se ha intersecao, a percentagem sera menor que 35%.

[Exercicio 50] Se 80% dos alunos de um curso aprovam a disciplina X e 70% aprova a disciplina Y, de cada 100 alunos, o conjunto A de aprovados em X tem cardinalidade 80 e o conjunto B de aprovados em Y tem cardinalidade 70, Quantos aprovaram as duas disciplinas?

#(A) = 80, #(B) = 70, #(U) = 100

#(A ∪ B) ≤ 100

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)

100 ≥ 80 + 70 - #(A ∩ B)

#(A ∩ B) ≥ 150 - 100 = 50

Pelo menos 50 alunos aprovaram ambas as disciplinas.

O maximo seria 70 (se todos os de B tambem aprovaram A).