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(6) Realiza as seguintes operacoes mediante a cardinalidade dos seguintes conjuntos:
Sendo #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 realiza as seguintes operacoes.
1. [Exercicio 41]
Se (A ∩ B) sao disjuntos, #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= 2 + 5- 0
#(A ∩ B)= 7
2. [Exercicio 42]
Se C e disjunto a (A ∩ B) e A={a,b} e B={b, c, d, f, g}, Qual e a cardinalidade de # ((A ∩ B) ∪ C)?
3. [Exercicio 43]
Se A={a,b}, B={b, c, d, f, g} e C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s , t, v} Qual e a cardinalidade de
# ((B ∩ C) ∪ A) ?
B ⊂ C, portanto, a cardinalidade de #(B ∩ C) sera a cardinalidade de #(C)
#(B ∩ C) = 20
A ⊂ C, portanto, #(B ∩ C) = #((B ∩ C) ∪ #(A))
#((B ∩ C) ∪ #(A))=20
4. [Exercicio 44] Sendo todos os conjuntos disjuntos calcula
#((A∪ B) - (A ∩ B))
5. [Exercicio 45]
Se C e disjunto e A e B tem dois elementos em comum, calcula
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])?
| (A ∩ B) ∪ C) | (B ∩ C) ∪ A |
|---|---|
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 A ⊂ B #(A ∩ B)= 5 #(A ∩ B) = 5 #((A ∩ B) ∪ C)= 25 |
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 #((B ∩ C))= 25 #(A)=2 A ⊂ B #((B ∩ C) ∪ A)= 25 |
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A)])= 25 - 25= 0 |
|
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])= 0
Problemas de cardinalidade de conjuntos:
6. [Exercicio 46] Suponhamos que uma entidade bancaria realizou um inquerito acerca da situacao economica das familias portuguesas. Segundo os resultados do inquerito, 30% das familias pagavam um credito hipotecario, 40% pagavam um credito para comprar um carro e 10% pagavam creditos de ambos. A entidade deseja saber que percentagem de familias nao pagam nem creditos hipotecarios nem creditos para a compra de um carro.
Solucao:
Por proporcionalidade, basta raciocinar sobre um universo de 100 familias. Chamemos a A ao conjunto de familias, entre as 100, que estao a pagar um credito hipotecario e B ao conjunto de familias que pagam um credito para a compra de um carro. Segundo os dados, de cada 100 familias 30 pertencem a A e 40 pertencem a B, portanto, #(A)=40 e #(B)=30 logo #(A ∩ B)= 10. Entao, as que pagam algum dos creditos serao:
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
= 30 + 40 - 10
=60
e as que nao pagam nenhum dos dois creditos serao
#((A ∪ B)c) = #(U) - #((A ∪ B))= 100 - 60= 40
7. [Exercicio 47]
8. [Exercicio 48] Suponhamos que numa reuniao ha 40 pessoas que falam alguma das linguas alemao, portugues ou ingles. Sabe-se que 22 falam alemao, 26 nao falam ingles, 30 falam so uma lingua, 30 falam ingles ou alemao, 7 falam ingles mas nao falam portugues e 17 falam alemao mas nao falam portugues. Deseja-se responder a perguntas como: Quantas pessoas falam as tres linguas? Quantas pessoas falam so portugues? Quantas falam portugues mas nao falam ingles?
Solucao:
Chamemos A, B e C, respetivamente, aos conjuntos de pessoas que falam alemao, portugues e ingles. Todas as relacoes entre estes conjuntos podemos representa-las num diagrama de Venn:
Se formalizarmos os dados que aparecem no enunciado ficaremos com os seguintes dados:
| Numero | Enunciado | Formalizacao | Cardinalidade | Quantidade |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Pessoas no Total | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VI) +#(VII) = | 40 |
| 2 | Falam alemao | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(V)= | 22 |
| 3 | Nao falam ingles | A ∩ Bc ∩ C | #(II) +#(V) +#(VI)= | 26 |
| 4 | Falam so uma lingua | Ac ∩ B ∩ C | #(V) +#(VI)+#(VII)= | 30 |
| 5 | Falam ingles ou alemao | A ∩ Bc ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = | 30 |
| 6 | Falam ingles mas nao portugues | Ac ∩ B ∩ Cc | #(III) + #(VII) = | 7 |
| 7 | Falam alemao mas nao portugues | Ac∩ Bc ∩ Cc | #(III) + #(V) = | 17 |
Quantas pessoas falam so portugues?
Responder a isto e simples. (2) sao os que falam Ingles ou Alemao. Se subtrairmos (2) ao numero total de pessoas (1) fica-nos o numero de pessoas que so falam portugues.
(1)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) + #(VI) #(VII) =40
(2)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(VI)=#(1)-#(2)
#(VI)=10
As pessoas que so falam portugues sao 10.
Quantas pessoas falam as tres linguas?
Para descobrir esta cifra e necessario realizar mais operacoes... Observemos o numero de pessoas que falam so uma lingua (4)
#(4)= #(V) + #(VI) +#(VII) = 30
#(VI)= 10
#(V) + #(VII) = 20
Sabemos que 10 pessoas so falam portugues. Portanto, podemos deduzir que 20 pessoas ou falam ingles ou falam alemao.
Agora vamos descobrir o numero de pessoas que falam ingles mas nao portugues e o numero de pessoas que falam alemao mas nao portugues. E com este dado, junto ao nosso conhecimento do numero de falantes que so falam ingles ou so falam alemao deduziremos os que falam portugues e ingles:
#(6) +#(7)= 2x#(III) +#(V) + #(VII)=24
#(V)+#(VII)=20
2x#(III)=4
#(III)=2
Ja sabemos que o numero de pessoas que falam portugues e alemao sao 4 (#III). Agora e facil deduzir os que falam so ingles e os que falam so alemao.
#(6)= #(III) +#(VII)=7
#(III)=2
#(VII)=5
3 pessoas so falam ingles (#VII).
#(7)= #(III) + #(V)=17
#(III)=2
#(V)=15
15 sao os que falam alemao.
Sabendo os que nao falam ingles #(2) e os que falam alemao #(V) e os que falam so portugues #(VI), podemos deduzir aqueles que falam alemao e portugues #(II).
#(3)=#(II) + #(V) +#(VI)=26
#(V)= 15
#(VI)= 10
Portanto, #(II)=1
Como sabemos os que falam alemao #(2), os que falam alemao e portugues #(II), os que falam ingles e alemao #(III) e, por ultimo, os que falam so alemao #(V), podemos deduzir definitivamente o numero de pessoas que falam as tres linguas.
#(2)=#(I)+#(II)+#(III)+#(V)=22
#(II)=1
#(III)=2
#(V)=15
Portanto, #(I)= 4
Quantas pessoas falam portugues mas nao ingles?
Primeiro deduziremos o valor de #(IV) mediante os dados disponiveis e mediante #(5):
#(5)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(I)= 4
#(II)= 1
#(III)= 2
#(V) = 15
#(VII)= 5
Portanto, #(IV)= 3
e com este dado deduzimos mediante esta operacao o numero de portugueses que nao sabem ingles:
#(IV) + #(VI)=
#(IV)=3
#(VI)=10
15
O numero de Portugueses que nao sabem ingles e de 15.
Exercicio resolvido!
9. [Exercicio 49] De um inquerito conclui-se que um em cada quatro portugueses e adepto de futebol e que um em cada dez e adepto de basquetebol. Nao se dispoe de dados acerca de quantos portugueses partilham ambas as aficoes. Nestas circunstancias nao se pode averiguar com exatidao quantos portugueses tem alguma das duas aficoes, mas pode assegurar-se que a percentagem de portugueses que tem alguma dessas aficoes nao sera superior a soma dos adeptos de futebol e dos adeptos de basquetebol. Como, de cada 100 portugueses, ha 25 adeptos de futebol e 10 adeptos de basquetebol, pode assegurar-se que a percentagem de portugueses que tem alguma dessas aficoes nao supera os 35%.
10. [Exercicio 50] Se 80% dos alunos de um curso aprovam a disciplina X e 70% aprova a disciplina Y, de cada 100 alunos, o conjunto A de aprovados em X tem cardinalidade 80 e o conjunto B de aprovados em Y tem cardinalidade 70, Quantos aprovaram as duas disciplinas?
Solucao:
#(A ∩ B) ≥ #(A) +#(B) -#(U)= 80 + 70 -100=50
Portanto, pelo menos 50% dos alunos terao aprovado as duas disciplinas.
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