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Problemes de logique mathematique resolus pour exercer l'ingeniosite
(0) Problemes de logique mathematique que vous devez demontrer par une methode logique
[0.1] Roque, un barbier de Batuecas, rase tous les habitants qui ne se rasent pas eux-memes et seulement eux. Pourquoi est-ce impossible ?
REPONSE INTUITIVE :
Supposons que Roque se rase lui-meme : dans ce cas, etant habitant de Batuecas, il ne devrait pas se raser lui-meme. Mais le fait est qu'il se rase.
Maintenant, supposons que Roque ne se rase pas lui-meme : Eh bien, dans ce cas Roque se rase lui-meme pour cette meme raison.
REPONSE MATHEMATIQUE :
Cela demontre que ces premisses menent a une contradiction, c'est-a-dire que Roque se rase et ne se rase pas lui-meme. Etant donne que ces deux premisses nous menent a une contradiction, nous pouvons affirmer que les deux premisses sont inconsistantes. Impossible !
[0.2] Un journaliste interviewe un centenaire et celui-ci lui revele le secret de sa longevite : "Si je ne bois pas de biere, alors je mange du poisson" et "Je ne mange pas de poisson si je prends de la glace ou si je ne bois pas de biere". Est-il possible de suivre un tel regime ? Quel est l'ingredient secret ?
Formalisation :
"Si je ne bois pas de biere, alors je mange du poisson" = ¬p → q
"Je ne mange pas de poisson si je prends de la glace ou si je ne bois pas de biere" = r ∨ ¬p → ¬q
Trois alternatives dans son regime :
1. Biere et pas de glace.
2. Biere et pas de poisson
3. Biere, poisson et pas de glace.
L'ingredient de la longevite est la biere !
[0.3] On a demande au logicien Caferino : Aimes-tu Queta, Petra ou Rosana ? Il a pense : "J'aime au moins l'une des trois. Si j'aime Petra mais pas Queta, alors j'aime Rosana. Soit j'aime Queta ou Rosana, soit je n'aime aucune des trois. Si j'aime Queta, j'aime aussi Petra." Qui aime le logicien Caferino ?
Formalisation :
1. p ∨ q ∨ r (J'aime au moins l'une des trois)
2. (p ∧ ¬q → r) (Si j'aime Petra mais pas Queta, alors j'aime Rosana)
3. [(q ∨ r) ∧ ¬(q∧r)) ∨ ¬(p ∨ q ∨ r)] (Soit j'aime Queta ou Rosana, soit je n'aime aucune)
4. q → p (Si j'aime Queta, j'aime aussi Petra)
Trois solutions :
1. Il aime Petra et Queta, mais pas Rosana.
2. Il aime Petra et Rosana, mais pas Queta.
3. Il aime seulement Rosana.
[0.4] Une boite a chapeaux contient 5 chapeaux (3 blancs et 2 noirs). 3 logiciens se bandent les yeux et mettent un chapeau. Le premier dit "Je ne sais pas de quelle couleur est mon chapeau". Le deuxieme dit "Moi non plus". Le troisieme, sans enlever son bandeau, affirme "Le mien est blanc". Comment l'a-t-il deduit ?
Si A le sait, alors B et C ont le noir. Donc, s'ils ne le savent pas, au moins l'un a le blanc.
Cela signifie que si C a le noir, alors B a le blanc. B le sait.
B en regardant C ne le sait pas. Si B le savait, alors C aurait eu le noir.
C sait que A et B ne le savent pas, donc il sait que le sien est blanc.
(1) Problemes de logique mathematique avec tables de verite
[1.1] Un conseiller en image doit conseiller une cliente sur les accessoires pour un mariage. Il dispose de : boucles d'oreilles bleues, collier de perles, bracelet noir, boucles d'oreilles rouges, ceinture marron, collier rouge. Elle veut porter exactement 2 accessoires. (a) Combien de combinaisons sans restriction ? (b) Combinaisons avec un rouge et un noir ? (c) Combinaisons avec maximum 2 ? (d) Combinaisons avec rouges et autres, seulement 2 accessoires ?
a=boucles d'oreilles bleues, b=collier de perles, c=bracelet noir, d=boucles d'oreilles rouges, f=ceinture marron, g=collier rouge
(1) 2 eleve a la puissance 6 = 64 options pour combiner ses accessoires.
(2) Deux accessoires : un rouge et un noir ; et au maximum deux accessoires.
Solution : (d ∧ c) ∨ (g ∧ c) = (d ∨ g) ∧ c
(3) 15 combinaisons possibles.
(4) 20 combinaisons possibles.
[1.2] Un hacker doit determiner quatre valeurs booleennes (1 ou 0) pour contourner un systeme de securite. Il a decide d'appliquer la force brute. Pouvez-vous representer dans une table de verite toutes les combinaisons possibles ?
Avec 4 valeurs booleennes (p, q, r, s), le nombre total de combinaisons possibles est :
2^4 = 16 combinaisons possibles
On peut le representer dans une table de verite avec 16 lignes, une pour chaque combinaison de valeurs 0 et 1 pour les quatre variables.
[1.3] Un choregraphe enumere les manieres dont un danseur peut tenir une danseuse : dos, bras gauche, bras droit, cou ou jambe gauche. (a) Sans limitation physique, combien de combinaisons ? (b) Seulement 2 endroits, avec restrictions : pas les deux bras, et si le cou, il doit la tenir d'un autre endroit.
(a) Sans limitation physique : 2^5 = 32 combinaisons possibles (5 parties du corps)
(b) Il ne peut la tenir que de deux endroits a la fois :
Combinaisons de 5 elements pris 2 a 2 = C(5,2) = 10 combinaisons
Avec les restrictions supplementaires :
- S'il la prend par un bras, ne pas la tenir avec l'autre bras
- S'il la tient par le cou, il doit la tenir d'un autre endroit
Les combinaisons sont reduites en eliminant celles qui violent ces regles.
[1.4] A un arret de bus, nous ne nous souvenons pas lequel nous ramene a la maison. Seules les lignes 34, 43, 23 circulent. La ligne 34 ne connecte avec aucune autre ligne et ne fait pas de correspondance, mais vous vous souvenez avoir fait une correspondance la derniere fois. Combien de possibilites logiques existent de vous perdre ?
Variables : p=ligne 34, q=ligne 43, r=ligne 23
Restriction : La ligne 34 ne connecte avec aucune autre ligne et ne fait pas de correspondance.
Nous nous souvenons avoir fait une correspondance la derniere fois, donc la 34 n'est pas la bonne.
Avec cette information, les possibilites de se perdre dependent du choix entre la 43 ou la 23.
Possibilites logiques de se perdre : 2 options possibles (choisir incorrectement la 43 ou la 23)
[1.5] Dans un examen de conduite : "Est considere comme conducteur la personne... (a) Qui conduit un cyclomoteur a deux roues. (b) Qui manipule un volant en circulation d'apprentissage. (c) Qui manipule le mecanisme de direction ou est aux commandes du vehicule." Laquelle a le plus d'interpretations vraies ?
En analysant chaque option :
a) "Conduit un cyclomoteur a deux roues" - condition specifique
b) "Manipule un volant d'un vehicule en circulation d'apprentissage" - condition specifique
c) "Manipule le mecanisme de direction ou est aux commandes du vehicule" - condition disjonctive
L'option c) a le plus d'interpretations vraies car c'est une disjonction (ou), qui est vraie quand au moins l'une des deux parties est vraie.
Dans une table de verite, la disjonction a 3 cas vrais sur 4 possibles, tandis que les autres options sont plus restrictives.