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(1) Effectuez la formalisation suivante de ces propositions composees du langage naturel en logique propositionnelle :
[1] Il pleut et il fait froid.
p ∧ q
[2] Il ne pleut pas et il fait froid.
¬p ∧ q
[3] Il pleut ou il fait froid.
p ∨ q
[4] Ou bien il pleut, ou bien il fait froid.
(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
[5] Il pleut et il fait froid, ou il neige.
(p ∧ q) ∨ r
[6] Il n'est pas vrai qu'il pleuve et qu'il fasse froid.
¬(p ∧ q)
[7] Il n'est pas vrai qu'il ne pleuve pas et qu'il ne fasse pas froid.
¬(¬p ∧ ¬q)
[8] S'il pleut, il fait froid.
p → q
[9] S'il pleut, alors s'il fait froid, il neigera.
p → (q → r)
[10] Il n'est pas vrai que s'il pleut et neige ou s'il fait froid, il doive faire froid.
¬[(p ∧ r) ∨ q → q]
(2) Effectuez la formalisation de ces propositions composees du langage naturel en logique propositionnelle :
[11] Il est blond et a les yeux bleus ou il est grand.
(p ∧ q) ∨ r
[12] Il n'est pas vrai qu'il soit blond et qu'il ait les yeux bleus.
¬(p ∧ q)
[13] Il n'est pas blond et n'a pas les yeux bleus.
¬p ∧ ¬q
[14] Quand il pleut, la terre se mouille.
p → q
[15] Si le chien aboie encore, je le mords.
p → q
[16] Continue a agiter le verre et l'eau se renversera.
p → q
[17] Mange et tais-toi.
p ∧ q
[18] Il y avait des morceaux de metal, des journaux, des restes de nourriture.
p ∧ q ∧ r
[19] La lune est indifferente a nos vers, si elle ne l'etait pas, elle serait partie depuis longtemps.
p ∧ (¬p → q)
[20] Qu'il pleuve n'implique pas que la terre se mouille.
¬(p → q)
[21] Quand il pleut la terre se mouille, mais il n'est pas vrai qu'elle se mouille seulement quand il pleut.
(p → q) ∧ ¬(q → p)
[22] Si je mange beaucoup, je grossis. Et si je grossis, je me sens mal.
p → q, q → r
[23] Si j'etudie, j'ai sommeil. Si j'ai sommeil, je dors. Si je dors, je me reveille nerveux de ne pas avoir etudie. Si je me reveille nerveux de ne pas avoir etudie, alors j'etudie. Donc, j'ai sommeil.
Variables :
p = J'etudie
q = J'ai sommeil
r = Je dors
s = Je me reveille nerveux
Formalisation :
p → q, q → r, r → (¬p ∧ s), (¬p ∧ s) → p ⊦ q
[24] Si le roi d'Argentine est chauve, alors il y a un roi d'Argentine. Si le roi d'Argentine n'est pas chauve, alors il y a un roi d'Argentine. Il n'y a pas de roi d'Argentine. Par consequent, le roi d'Argentine est chauve si et seulement si le roi d'Argentine n'est pas chauve.
p → q, ¬p → q, ¬q ⊦ p ↔ ¬p
[25] Si le mal existe dans le monde et ne provient pas des actions des etres humains, alors Dieu ne peut pas ou ne veut pas l'empecher. Le mal existe dans le monde. Si Dieu ne peut pas empecher le mal dans ce monde, alors il n'est pas omnipotent. Si Dieu ne veut pas empecher l'existence du mal, alors il n'est pas bon. Mais Dieu est omnipotent et bon. Par consequent, le mal qui existe dans ce monde a son origine dans les actions de l'etre humain.
p ∧ ¬q → (¬r ∨ ¬s), p, ¬r → ¬t, ¬s → ¬w, t ∧ w ⊦ q
(3) Formalisez les phrases hypothetiques suivantes correctement selon la logique propositionnelle :
[26] Si tu veux un chien, alors tu dois avoir du temps.
p → q
[27] Seulement si tu ne portes pas de baskets, tu pourras entrer en discotheque.
q → ¬p
"Seulement si" indique que la condition est necessaire, pas suffisante.
[28] Tu peux venir chez moi quand tu veux.
p → q
"Quand" equivaut a "si".
[29] Il suffit d'avoir un 5 pour entrer a l'universite.
p → q
"Il suffit de" indique une condition suffisante.
[30] Il est necessaire de se presenter a l'examen pour entrer a l'universite.
q → p
"Il est necessaire" indique une condition necessaire.
[31] Pour avoir des amis, tu dois avoir la sante, l'argent, la renommee et le charisme.
p → (q ∧ r ∧ s ∧ t)
[32] A moins que tu empeches l'homicide, l'agent atteindra son objectif.
¬p → q
"A moins que" equivaut a "si ne pas".
[33] Sauf si tu achetes beaucoup de nourriture, elle sera bientot epuisee.
¬p → q
"Sauf si" equivaut a "si ne pas".
[34] Tu n'atteindras le succes que si tu as les meilleures notes.
p → q
[35] Quand tu reussiras, tout sera merveilleux.
p → q
[36] Adrian est professeur de logique si et seulement s'il a un diplome.
p ↔ q
"Si et seulement si" indique un biconditionnel.
[37] Au cas ou tu aimerais les exercices, tu engageras le professeur.
p → q
[38] Il suffit que Juan arrive pour gacher la fete.
p → q
"Il suffit que" indique une condition suffisante.
[39] La compagnie de Pablo est indispensable pour que la soiree soit complete.
q → p
"Est indispensable" indique une condition necessaire.
[40] Quand on fait ce qu'on peut, on n'est pas oblige de faire plus.
p → ¬q
(4) Formalisez les arguments suivants avec disjonction en logique propositionnelle :
[41] Ou tu t'achetes une PlayStation ou une Nintendo.
p ∨ q
Disjonction inclusive.
[42] Ou tu reussis ou tu echoues.
(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
Disjonction exclusive : tu ne peux pas reussir et echouer en meme temps.
[43] Ou bien il est celibataire, ou bien il ne l'est pas.
p ∨ ¬p
Tautologie : principe du tiers exclu.
[44] On recherche quelqu'un qui maitrise l'anglais ou l'allemand.
p ∨ q
Disjonction inclusive : il peut connaitre les deux langues.
[45] Ou bien c'est une proposition analytique ou bien une proposition synthetique.
(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
Disjonction exclusive : une proposition ne peut pas etre les deux.
(5) Effectuez la formalisation des arguments suivants en logique des predicats avec quantification simple :
[46] Tout le monde est mortel. Donc personne n'est immortel.
∀xMx ⊦ ¬∃x¬Mx
[47] Les pays du tiers monde ne sont pas industrialises. Certains pays du tiers monde possedent de grandes richesses. Par consequent, il y a des pays du tiers monde qui possedent de grandes richesses et ne sont pas industrialises.
∀x(Px ∧ Tx → ¬Ix), ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx) ⊦ ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx ∧ ¬Ix)
[48] Aucun sportif qui aspire a participer aux Jeux olympiques ne consomme de boissons alcoolisees. Il y a des sportifs qui consomment des boissons alcoolisees. Par consequent, certains sportifs ne participent pas aux Jeux olympiques.
∀x(Dx ∧ Ax → ¬Ix), ∃x(Dx ∧ Ix) ⊦ ∃x(Dx ∧ ¬Ax)
[49] Les medecins et les ingenieurs sont des professionnels. Les professionnels et les dirigeants sont respectes. Donc, les medecins sont respectes.
∀x(Mx ∨ Ix → Px), ∀x(Px ∨ Dx → Rx) ⊦ ∀x(Mx → Rx)
[50] Il existe des hommes intelligents. Donc, il n'est pas le cas qu'aucun homme ne soit intelligent.
∃x(Hx ∧ Ix) ⊦ ¬∀x(Hx → ¬Ix)
[51] Les philosophes et seulement eux sont intelligents. Par consequent, ceux qui ne sont pas philosophes ne sont pas intelligents.
¬∃x(¬Fx ∧ Ix) ⊦ ∀x(¬Fx → ¬Ix)
[52] Aucun etre parfait n'est immoral. Tout individu qui ne valorise pas l'honnetete intellectuelle est imparfait. Aucun individu moral qui valorise l'honnetete intellectuelle ne peut condamner l'agnosticisme. Il s'ensuit que si Dieu est parfait, il ne peut pas condamner l'agnosticisme.
∀x(Px → Mx), ∀x(¬Hx → ¬Px), ∀x(Mx ∧ Hx → ¬Cx) ⊦ Pd → ¬Cd
[53] Les propositions mathematiques sont necessaires. Seules les propositions synthetiques ont un contenu. Il n'y a pas de propositions synthetiques a priori. Toute proposition est soit a priori soit a posteriori. Par consequent, les propositions mathematiques sont synthetiques a posteriori.
∀x(Mx → Nx), ¬∃x(¬Sx ∧ Cx), ¬∃x(Sx ∧ Ax), ∀x[Ax ∨ Bx ∧ ¬(Ax ∧ Bx)] ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Bx)
[54] Les propositions mathematiques sont necessaires. Les propositions a posteriori ne sont pas necessaires. Les propositions mathematiques ont un contenu. Seules les propositions qui ont un contenu sont synthetiques. Par consequent, les propositions mathematiques sont synthetiques a priori.
∀x(Mx → Nx), ∀x(Bx → ¬Nx), ∀x(Mx → Cx), ¬∃x(¬Cx ∧ Sx) ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Ax)
(6) Effectuez la formalisation des arguments suivants en logique des predicats avec quantification multiple :
[55] Si Watson peut attraper Moriarty, Holmes le peut. Holmes ne peut pas. Donc, Watson non plus.
Awm → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬Awm
[56] Seul Holmes peut attraper Moriarty. Holmes ne peut pas. Donc, personne ne peut.
∀x(Axm → Ahm), ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)
[57] Si quelqu'un peut attraper Moriarty, alors Holmes le peut. Holmes ne peut pas. Donc il n'existe personne qui puisse l'attraper.
∃x(Axm) → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)
[58] Tout le monde est en relation avec tout le monde. Par consequent, tout le monde est en relation avec soi-meme.
∀x∀y(Rxy) ⊦ ∀x(Rxx)
[59] Tout garcon est plus jeune que son pere. Carlos est un garcon qui n'est pas plus jeune que Luis. Quiconque est marie avec Marie est le pere de Carlos. Par consequent, Luis n'est pas marie avec Marie.
∀x(Cx → Jxf(x)), Cc ∧ ¬Jcl, ∀x(Mxm → x = f(c)) ⊦ ¬Mlm
[60] Tout empiriste admire Hume. Certains idealistes n'estiment personne qui admire Hume. En consequence, certains idealistes n'estiment aucun empiriste.
∀x(Ex → Axh), ∃x(Ix ∧ ∀y(Ayh → ¬Exy)) ⊦ ∃x(Ix ∧ ∀y(Ey → ¬Exy))
[61] Il y a un homme que tous les hommes admirent. Par consequent, il y a au moins un homme qui s'admire lui-meme.
∃x(Hx ∧ ∀y(Hy → Ayx)) ⊦ ∃x(Hx ∧ Axx)
[62] Les colonels commandent les sergents et les sergents commandent les soldats. Tout celui qui est commande par un autre recoit des ordres de lui. Quiconque commande quelqu'un qui a son tour en commande un troisieme, commande ce troisieme. P est Colonel, H est Sergent et B est soldat. Par consequent, B recoit des ordres de P.
∀x∀y(Cx ∧ Sy → Mxy), ∀x∀y(Sx ∧ Dy → Mxy), ∀x∀y(Mxy → Ryx), ∀x∀y∀z(Mxy ∧ Myz → Mxz), Cp, Sh, Db ⊦ Rbp
[63] Est un delinquant celui qui vend un pistolet qui n'est pas enregistre. Toutes les armes que possede Jean ont ete achetees par lui dans le magasin de Louis ou dans celui de Joseph. Ainsi, si une des armes de Jean est un pistolet qui n'est pas enregistre, alors, si Jean n'a jamais rien achete dans le magasin de Joseph, Louis est un delinquant.
∀x∀y(Vxy ∧ Py ∧ ¬Ry → Dx), ∀x(Ajx → Cxl ∨ Cxj) ⊦ ∃x(Ajx ∧ Px ∧ ¬Rx) → (¬∃x(Cxj) → Dl)
[64] Quiconque lit Freud l'interpretera mal a moins d'avoir une formation psychiatrique. Tous ceux qui lisent Freud et l'interpretent mal contribuent a leur propre maladie mentale. Une personne immature est incapable d'interpreter correctement Freud. Tous ceux qui lisent Freud et ont une formation psychiatrique ne sont pas des personnes matures. Par consequent, il y a des personnes avec une formation psychiatrique qui contribuent a leur propre maladie mentale.
∀x(Lxf ∧ ¬Px → Ix), ∀x(Lxf ∧ Ix → Cx), ∀x(¬Mx → Ix), ¬∀x(Lxf ∧ Px → Mx) ⊦ ∃x(Px ∧ Cx)
(7) Effectuez la formalisation de ces propositions composees en logique des predicats avec foncteurs et identite :
[65] Le pere de Pierre est Louis.
f(p) = l
Ou f(x) = "le pere de x"
[66] Le pere de Pierre est arbitre de football.
Af(p)
Ou f(x) = "le pere de x", A = "est arbitre de football"
[67] La somme de deux et trois est un nombre premier.
Ps(2,3)
Ou s(x,y) = "la somme de x et y", P = "est nombre premier"
[68] Il y a au moins deux nombres naturels dont la somme est egale a six.
∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,y) = 6)
[69] Il y a au moins deux nombres naturels tels que leur somme avec eux-memes est egale a leur produit avec eux-memes.
∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,x) = p(x,x) ∧ s(y,y) = p(y,y))
[70] Pour tout nombre naturel, le produit de ce nombre par lui-meme est egal au carre de ce nombre.
∀x(Nx → p(x,x) = c(x))
Ou p(x,y) = "produit de x et y", c(x) = "carre de x"
[71] Le carre de trois est pair.
Pc(3)
Ou c(x) = "carre de x", P = "est pair"
[72] Le produit de trois par quatre est multiple de deux.
Mp(3,4)2
Ou M = "est multiple de"
[73] Le produit de deux par n'importe quel nombre naturel est pair.
∀x(Nx → Pp(2,x))
[74] Il n'est pas vrai que trois soit diviseur du cube de tout nombre naturel impair.
¬∀x(Nx ∧ Ix → D3cb(x))
Ou cb(x) = "cube de x", D = "est diviseur de", I = "est impair"
(8) Effectuez la formalisation des propositions composees qui apparaissent ci-dessous en logique des predicats avec foncteurs, descripteurs et identite :
[75] Le cube de deux est egal au produit de deux par quatre.
cb(2) = p(2,4)
[76] Il existe deux nombres naturels tels que leur produit est egal a cinq.
∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ p(x,y) = 5)
[77] Il n'existe pas deux nombres naturels tels que leur produit soit egal a cinq.
¬∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ p(x,y) = 5)
[78] Il existe un nombre naturel dont le carre est le cube de quatre.
∃x(Nx ∧ c(x) = cb(4))
[79] Il existe un nombre naturel dont le cube est diviseur de n'importe quel nombre naturel impair.
∃x(Nx ∧ ∀y(Ny ∧ Iy → Dcb(x)y))
[80] L'auteur du Capital est Marx.
ιx(Axc) = m
Ou ι est le descripteur defini
[81] L'ecrivain de la Republique est Platon.
ιx(Exr) = p
[82] L'auteur de l'Alchimiste est ecrivain.
Eιx(Axa)
[83] Le professeur de logique de la faculte de sciences de Saragosse a etudie la philosophie.
Fιx(Pxlz)
Ou P = "est professeur de logique a", F = "a etudie la philosophie"
[84] Le directeur d'Adrian est un excellent chercheur.
Iιx(Dxa)
Ou D = "est directeur de", I = "est excellent chercheur"
(9) Effectuez la formalisation suivante des propositions composees qui apparaissent ci-dessous en logique des predicats avec quantification numerique :
[85] Il y a au minimum un Dieu.
∃xDx
[86] Il y a au minimum deux Dieux.
∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)
[87] Il y a au maximum un Dieu.
∀x∀y(Dx ∧ Dy → x = y)
Ou de maniere equivalente : ¬∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)
[88] Il y a au maximum deux Dieux.
∀x∀y∀z(Dx ∧ Dy ∧ Dz → x = y ∨ x = z ∨ y = z)
[89] Il y a exactement un Dieu.
∃x(Dx ∧ ∀y(Dy → x = y))
Au moins un et au maximum un.
[90] Il y a exactement deux Dieux.
∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y ∧ ∀z(Dz → z = x ∨ z = y))
[91] Un philosophe domestique exactement un tigre.
∃x(Fx ∧ ∃y(Ty ∧ Dxy ∧ ∀z(Tz ∧ Dxz → z = y)))
[92] Un tigre est domestique par exactement un philosophe.
∃x(Tx ∧ ∃y(Fy ∧ Dyx ∧ ∀z(Fz ∧ Dzx → z = y)))
[93] Au moins deux juges de ligne qui utilisent au maximum un drapeau.
∃x∃y(Jx ∧ Jy ∧ x ≠ y ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uxz ∧ Uxw → z = w) ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uyz ∧ Uyw → z = w))
[94] Exactement deux juges de ligne utilisent exactement le meme drapeau.
∃x∃y∃z(Jx ∧ Jy ∧ Bz ∧ x ≠ y ∧ Uxz ∧ Uyz ∧ ∀w(Jw ∧ Uwz → w = x ∨ w = y))
(10) Effectuez la formalisation des arguments suivants en logique des predicats :
[95] Un professeur extravagant d'une universite a fixe ses heures de tutorat de 6 a 7 heures du matin, avec le raisonnement suivant : "Les etudiants qui ont besoin de me parler viendront a mon bureau meme a cette heure, mais ceux qui n'en ont pas besoin ne viendront pas. Ainsi, un etudiant viendra a mon bureau si et seulement s'il a besoin de me parler."
∀x(Ex ∧ Nxa → Dxa), ∀x(Ex ∧ ¬Nxa → ¬Dxa) ⊦ ∀x(Ex → (Dxa ↔ Nxa))
[96] Lorsque, dans son voyage au pays des merveilles, Alice s'adresse au chat, qui est soudainement apparu en haut d'un arbre, et lui demande une direction, le chat lui dit : "Ici, nous sommes tous fous : tu es folle, je suis fou." "Comment sais-tu que tu es fou ?" repondit Alice. "Pour commencer - dit le chat - un chien n'est pas fou. Tu es d'accord ?... Bien, alors - continua le chat - un chien grogne quand il est en colere, et remue la queue quand il est content. Or, moi je grogne quand je suis content et je remue la queue quand je suis en colere. Par consequent, je suis fou."
Variables :
Px = x est chien, Lx = x est fou, Gx = x grogne, Mx = x remue la queue, Ex = x est en colere, Cx = x est content, g = le chat
Formalisation :
∀x(Px → ¬Lx), ∀x(Px ∧ Ex → Gx), ∀x(Px ∧ Cx → Mx), Cg → Gg, Eg → Mg ⊦ Lg
[97] Il existe une ile peuplee exclusivement de "chevaliers" et d'"ecuyers". La seule chose qui differencie les uns des autres est que les premiers disent toujours la verite et les seconds mentent toujours. Une fois que trois des habitants - A, B, C - se sont retrouves dans le jardin, un etranger qui passait par la a demande a A "Es-tu chevalier ou ecuyer ?" A a repondu mais si confusement qu'il n'a pas pu entendre ce qu'il disait. Alors l'etranger a demande a B "Qu'a-t-il dit ?" et B lui a repondu que "A a dit qu'il est ecuyer". Mais aussitot le troisieme homme C a replique : "Ne crois pas B, il ment."
Analyse :
- Si A est chevalier, il dit la verite, donc il dirait "je suis chevalier".
- Si A est ecuyer, il ment, donc il dirait aussi "je suis chevalier".
- Par consequent, A a dit "je suis chevalier".
- B dit que A a dit "je suis ecuyer", ce qui est faux. Donc B est ecuyer.
- C dit que B ment, ce qui est vrai. Donc C est chevalier.
Conclusion : B est ecuyer, C est chevalier. On ne peut pas determiner ce qu'est A.
[98] Lors de la presentation du dossier relatif a un important vol survenu a Londres, l'inspecteur Craig a demande a son assistant, le sergent McPherson : "Que feriez-vous avec ces faits ?" : (1) Si A est coupable et B innocent, alors C est coupable. (2) C ne travaille jamais seul. (3) A ne travaille jamais avec C. (4) Personne d'autre que A, B, C n'etait implique, et au moins l'un d'entre eux est coupable.
Formalisation :
1. (Ca ∧ ¬Cb) → Cc
2. Cc → (Ca ∨ Cb)
3. ¬(Ca ∧ Cc)
4. Ca ∨ Cb ∨ Cc
Analyse :
De (3) : Si C est coupable, A est innocent.
De (2) : Si C est coupable, A ou B est coupable. Avec (3), B doit etre coupable.
De (1) : Si A coupable et B innocent → C coupable. Avec (3), cela force : si A coupable, B coupable.
Conclusion : B est coupable. A peut ou non etre coupable. Si A est coupable, B l'est aussi.
[99] M. McGregor, un commercant londonien, a telephone a Scotland Yard pour dire que son magasin avait ete cambriole. Trois suspects ont ete arretes - A, B, C - pour etre interroges et les faits suivants ont ete etablis : (1) Chacun des trois hommes etait dans le magasin le jour du vol, et personne d'autre n'etait dans le magasin. (2) Si A etait coupable, alors il avait un complice, et un seul. (3) Si B etait innocent, C l'etait aussi. (4) Si deux et seulement deux sont coupables, alors A est l'un d'eux. (5) Si C est innocent, B l'est aussi. Qui l'inspecteur Craig a-t-il inculpe ?
Formalisation :
1. Tous etaient dans le magasin, personne d'autre implique.
2. Ca → [(Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Cc ∧ ¬Cb)]
3. ¬Cb → ¬Cc
4. [(Ca ∧ Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Ca ∧ ¬Cb ∧ Cc) ∨ (¬Ca ∧ Cb ∧ Cc)] → Ca
5. ¬Cc → ¬Cb
Analyse :
De (3) et (5) : B est innocent ↔ C est innocent. Ils sont tous deux coupables ou tous deux innocents.
De (2) : Si A est coupable, il a exactement un complice. Mais B et C vont ensemble.
Par consequent : A est innocent. B et C sont coupables.
Conclusion : L'inspecteur Craig a inculpe B et C.