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Exercices resolus de theorie des ensembles
(1) Definissez par intension (par description ou comprehension) les ensembles suivants definis par extension (ou par enumeration) :
[Exercice 1] P={Huelva, Seville, Cordoue, Jaen, Cadix, Malaga, Grenade, Cordoue}
P= {x/ x est une province d'Andalousie}
[Exercice 2] P={ Antioquia, Bolivar, Boyoca, Caldas, Cauca, Choco, Cundinamarca, Huila, La Guajira, Meta, Narino, Norte de Santander, Santander, Sucre, Tolima, Valle del Cauca }
P= {x/ x est un departement de Colombie}
[Exercice 3] P={1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
P= {x/ x ∈ ℕ} (x est un nombre naturel)
[Exercice 4] P={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
P= {x/ x ∈ ℤ} (x est un nombre entier)
[Exercice 5] P={Theorie des ensembles, Theorie des modeles, Theorie de la demonstration, Theorie de la calculabilite...}
P= {x/ x est une branche de la logique mathematique}
[Exercice 6] P={ <Julio Iglesias de la Cueva, Enrique Iglesias>, <Julio Iglesias de la Cueva, Julio Jose Iglesias>}
P= {<x,y> ∈ CxC/ y est le fils du chanteur x} Etant C={x/x est chanteur}
[Exercice 7] P={5, 10, 15, 20...}
P= {x/ x est un multiple de 5}
[Exercice 8] P= {...<1,-1>, <2, -2> <3, -3>, <4, -4>, <5, -5>...}
P= {<x,y> ∈ ℤxℤ/ y = -x}
[Exercice 9] P={<Luis Guitierrez Alvarez, 76849912A>, <Adrian Gomez Lerin, 48593254Z>, <Antonio Banderas Rodillo, 65749934H}
P= {<x,y> ∈ HxD/ y est le numero d'identite de x} Etant H=personnes et D=numeros d'identite
[Exercice 10] P={<1,1>, <2,4>, <3, 9>, <4,16>, <5,25>...}
P= {<x,y> ∈ ℕxℕ/ y = x²}
(2) Definissez par extension les ensembles suivants definis par intension :
[Exercice 11] P={x ∈ H/ x fait partie du groupe Jackson Five}
P= {Michael Jackson, Jackie Jackson, Tito Jackson, Jermaine Jackson, Marlon Jackson}
[Exercice 12] P={x/x est membre des Beatles}
P= {John Lennon, Paul McCartney, George Harrison, Ringo Starr}
[Exercice 13] P= {x/ x² - 4=0}
x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2
P= {2, -2}
[Exercice 14] P={x/ x² - 48x + 578 = 0}
En utilisant la formule quadratique : x = (48 ± √(2304-2312))/2
Comme le discriminant est negatif, P= Ø (ensemble vide)
[Exercice 15] P={x / x est l'un des livres de Harry Potter}
P= {Harry Potter a l'ecole des sorciers, Harry Potter et la Chambre des secrets, Harry Potter et le Prisonnier d'Azkaban, Harry Potter et la Coupe de feu, Harry Potter et l'Ordre du Phenix, Harry Potter et le Prince de sang-mele, Harry Potter et les Reliques de la Mort}
[Exercice 16] P={x/x est un biotype}
P= {Ectomorphe, Mesomorphe, Endomorphe}
[Exercice 17] P={<x,y> ∈ N x N/ y= x+1}
P= {<1,2>, <2,3>, <3,4>, <4,5>, <5,6>...}
[Exercice 18] P={<x,y> ∈ NxN/ x+y=170}
P= {<1,169>, <2,168>, <3,167>, ... <85,85>, ... <169,1>}
[Exercice 19] P={<x,y> ∈ SxA/ y est le code ASCII de x} Etant S un symbole informatique et A un nombre ASCII.
P= {<NULL,0>, <SOH,1>, <STX,2>, <ETX,3>, ... <A,65>, <B,66>, ... <a,97>...}
[Exercice 20] P={<x,y> ∈ NxR/ x est le nombre correspondant a y} Etant N les nombres naturels et R les nombres exprimes dans le systeme de numeration romaine.
P= {<1,I>, <2,II>, <3,III>, <4,IV>, <5,V>, <6,VI>, <7,VII>, <8,VIII>, <9,IX>, <10,X>...}
(3) Effectuez les operations suivantes entre ensembles et representez-les graphiquement a l'aide de diagrammes de Venn :
Etant A= {0,1,2}, B={0,1,{2}} C={4,5} representez et calculez les operations suivantes :
[Exercice 21] A ∩ B
A ∩ B = {0, 1}
Les elements communs a A et B sont 0 et 1. Note : {2} ∈ B mais 2 ∈ A, ce sont des elements differents.
[Exercice 22] A ∪ B
A ∪ B = {0, 1, 2, {2}}
L'union inclut tous les elements des deux ensembles.
[Exercice 23] A - C
A - C = {0, 1, 2}
Comme A et C sont disjoints (ils n'ont pas d'elements en commun), A - C = A
[Exercice 24] A ∪ B ∪ C
A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, {2}, 4, 5}
[Exercice 25] A ∩ (B ∪ C)
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}
[Exercice 26] (B ∪ C) - (A ∩ B)
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ B = {0, 1}
(B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}
[Exercice 27] P(A) ∩ B
P(A) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}
P(A) ∩ B = {{2}}
Le seul element qui est dans P(A) et dans B est {2}
[Exercice 28] A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)
B ∩ C = Ø
A ∪ (B ∩ C) = A ∪ Ø = {0, 1, 2}
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}
A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2} - {0, 1} = {2}
[Exercice 29] A ∩ A - A ∪ A
A ∩ A = A = {0, 1, 2}
A ∪ A = A = {0, 1, 2}
A - A = Ø
[Exercice 30] [A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C) - (A ∩ B)]
De l'exercice 28 : A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {2}
De l'exercice 26 : (B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}
{2} - {{2}, 4, 5} = {2}
Note : {2} ≠ 2, donc 2 n'est pas dans le second ensemble.
(4) Resolvez la validite des arguments suivants a l'aide de diagrammes de Venn :
[Exercice 31] "Aucun empiriste n'est rationaliste. Les positivistes sont empiristes. Par consequent, aucun positiviste n'est rationaliste."
Ensembles : E={x/x est empiriste}, R={x/x est rationaliste}, P={x/x est positiviste}
Formalisation :
1. E ∩ R = Ø (Aucun empiriste n'est rationaliste)
2. P ⊆ E (Les positivistes sont empiristes)
Conclusion : P ∩ R = Ø
L'argument est VALIDE. Si P ⊆ E et E ∩ R = Ø, alors necessairement P ∩ R = Ø.
[Exercice 32] "Certains mathematiciens sont rigoureux. Certains mathematiciens font des erreurs de calcul. Tous les mathematiciens qui font des erreurs de calcul ne sont pas rigoureux. Par consequent, tous les mathematiciens rigoureux ne font pas d'erreurs de calcul."
Ensembles : M={x/x est mathematicien}, R={x/x est rigoureux}, F={x/x fait des erreurs de calcul}
Formalisation :
1. M ∩ R ≠ Ø
2. M ∩ F ≠ Ø
3. (M ∩ F) ∩ R = Ø
Conclusion : (M ∩ R) ∩ F = Ø
L'argument est VALIDE. La premisse 3 etablit que ceux qui font des erreurs ne sont pas rigoureux, ce qui est equivalent a dire que les rigoureux ne font pas d'erreurs.
[Exercice 33] "Il y a des croyants agnostiques et des croyants non agnostiques. Aucun athee n'est croyant. Tous les agnostiques sont athees. Par consequent, certains athees ne sont ni croyants ni agnostiques."
Ensembles : C={x/x est croyant}, G={x/x est agnostique}, A={x/x est athee}
Formalisation :
1. C ∩ G ≠ Ø (Il y a des croyants agnostiques)
2. C - G ≠ Ø (Il y a des croyants non agnostiques)
3. A ∩ C = Ø (Aucun athee n'est croyant)
4. G ⊆ A (Tous les agnostiques sont athees)
Probleme : Les premisses 1 et 4 ensemble impliquent C ∩ A ≠ Ø, mais la premisse 3 dit A ∩ C = Ø.
Les premisses sont INCONSISTANTES.
[Exercice 34] "Tous les danseurs sont egocentriques. Certains egocentriques aiment qu'on les regarde, bien que d'autres non. Ceux qui aiment sont des danseurs et ceux qui n'aiment pas aussi. Par consequent, tous les egocentriques sont des danseurs."
Ensembles : B={x/x est danseur}, E={x/x est egocentrique}, G={x/x aime qu'on le regarde}
Formalisation :
1. B ⊆ E (Tous les danseurs sont egocentriques)
2. E ∩ G ≠ Ø et E - G ≠ Ø (Certains egocentriques aiment, d'autres non)
3. (E ∩ G) ⊆ B et (E - G) ⊆ B
De 3 : E ⊆ B
Conclusion : E ⊆ B (Tous les egocentriques sont des danseurs)
L'argument est VALIDE.
[Exercice 35] "Les philosophes sont des amoureux de la sagesse. Certains amoureux de la sagesse poursuivent le bien. Par consequent, certains philosophes poursuivent le bien."
Ensembles : F={x/x est philosophe}, A={x/x est amoureux de la sagesse}, P={x/x poursuit le bien}
Formalisation :
1. F ⊆ A (Les philosophes sont des amoureux de la sagesse)
2. A ∩ P ≠ Ø (Certains amoureux poursuivent le bien)
Conclusion : F ∩ P ≠ Ø
L'argument n'est PAS valide. Le fait que certains amoureux de la sagesse poursuivent le bien ne garantit pas que ce soient les philosophes. Il pourrait y avoir des amoureux de la sagesse qui poursuivent le bien mais qui ne sont pas des philosophes.
(5) Simplifiez les ensembles suivants :
La lettre "c" indique qu'il s'agit du complementaire.
[Exercice 36] (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)
(A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)
= A ∩ (B ∩ Bᶜ) [Associative]
= A ∩ Ø [B ∩ Bᶜ = Ø]
= Ø
[Exercice 37] (Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A
(Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A
= (A ∪ Bᶜ) ∪ (Bᶜ ∩ A) ∪ A [De Morgan]
= (A ∪ Bᶜ) ∪ A [Absorption : (Bᶜ ∩ A) ⊆ A]
= A ∪ Bᶜ [Absorption : A ⊆ (A ∪ Bᶜ)]
= A ∪ Bᶜ
[Exercice 38] (A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)
(A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)
= (A ∩ Aᶜ) ∩ (Bᶜ ∩ B) [Commutative et Associative]
= Ø ∩ Ø
= Ø
[Exercice 39] (A ∪ A) - (A ∩ B)
(A ∪ A) - (A ∩ B)
= A - (A ∩ B) [Idempotence : A ∪ A = A]
= A ∩ (A ∩ B)ᶜ [Definition de la difference]
= A ∩ (Aᶜ ∪ Bᶜ) [De Morgan]
= (A ∩ Aᶜ) ∪ (A ∩ Bᶜ) [Distributive]
= Ø ∪ (A ∩ Bᶜ)
= A ∩ Bᶜ (ou A - B)
[Exercice 40] (A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)
(A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)ᶜ [De Morgan : Bᶜ ∪ Aᶜ = (A ∩ B)ᶜ]
= U (Univers)
(6) Effectuez les operations suivantes en utilisant la cardinalite des ensembles :
Etant #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20, effectuez les operations suivantes.
[Exercice 41] Si A et B sont disjoints, #(A ∪ B)
Si A ∩ B = Ø (disjoints) :
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∪ B) = 2 + 5 - 0 = 7
[Exercice 42] Si C est disjoint de (A ∩ B) et A={a,b} et B={b, c, d, f, g}, quelle est la cardinalite de #((A ∩ B) ∪ C) ?
A ∩ B = {b}, donc #(A ∩ B) = 1
Comme C est disjoint de (A ∩ B) :
#((A ∩ B) ∪ C) = #(A ∩ B) + #(C) = 1 + 20 = 21
[Exercice 43] Si A={a,b}, B={b, c, d, f, g} et C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s, t, v}, quelle est la cardinalite de #((B ∩ C) ∪ A) ?
B ∩ C = {b, c, d, f, g} (B ⊂ C), #(B ∩ C) = 5
A = {a, b}
(B ∩ C) ∪ A = {a, b, c, d, f, g}
#((B ∩ C) ∪ A) = 6
[Exercice 44] Tous les ensembles etant disjoints, calculez #((A ∪ B) - (A ∩ B))
Si A et B sont disjoints : A ∩ B = Ø
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) = 2 + 5 = 7
(A ∪ B) - (A ∩ B) = (A ∪ B) - Ø = A ∪ B
#((A ∪ B) - (A ∩ B)) = 7
[Exercice 45] Si C est disjoint et A et B ont deux elements en commun, calculez #([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A])
#(A ∩ B) = 2
C disjoint de A et B : B ∩ C = Ø, A ∩ C = Ø
(A ∩ B) ∪ C : a 2 + 20 = 22 elements
(B ∩ C) ∪ A = Ø ∪ A = A, a 2 elements
Comme (A ∩ B) ⊆ A : [(A ∩ B) ∪ C] - A = C
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A]) = #(C) = 20
[Exercice 46] Supposons qu'une entite bancaire a realise une enquete sur la situation economique des familles espagnoles. Selon les resultats de l'enquete, 30% des familles payaient un credit hypothecaire, 40% payaient un credit automobile et 10% payaient les deux credits. L'entite souhaite savoir quel pourcentage de familles ne paient ni credits hypothecaires ni credits automobiles.
H = familles avec credit hypothecaire, C = familles avec credit automobile
#(H) = 30%, #(C) = 40%, #(H ∩ C) = 10%
#(H ∪ C) = #(H) + #(C) - #(H ∩ C) = 30 + 40 - 10 = 60%
Familles sans aucun credit : 100% - 60% = 40%
[Exercice 47] (Exercice en attente d'enonce)
Exercice en attente d'enonce.
[Exercice 48] Supposons qu'a une reunion il y a 40 personnes qui parlent l'une des langues suivantes : allemand, espagnol ou anglais. On sait que 22 parlent allemand, 26 ne parlent pas anglais, 30 parlent une seule langue, 30 parlent anglais ou allemand, 7 parlent anglais mais pas espagnol et 17 parlent allemand mais pas espagnol. On souhaite repondre a des questions telles que : Combien de personnes parlent les trois langues ? Combien de personnes parlent uniquement espagnol ? Combien parlent espagnol mais pas anglais ?
A = allemand, E = espagnol, I = anglais
Total = 40, #(A) = 22, #(Iᶜ) = 26 → #(I) = 14
Une seule langue = 30, #(I ∪ A) = 30
#(I - E) = 7, #(A - E) = 17
#(A ∪ I) = #(A) + #(I) - #(A ∩ I) → 30 = 22 + 14 - #(A ∩ I) → #(A ∩ I) = 6
Uniquement espagnol = 40 - 30 = 10
Personnes qui parlent les trois langues : En utilisant l'inclusion-exclusion, #(A ∩ E ∩ I) = 4
Uniquement espagnol : 10
Espagnol mais pas anglais : #(E) - #(E ∩ I) = 13
[Exercice 49] D'une enquete, il ressort qu'un Espagnol sur quatre est amateur de football et qu'un sur dix est amateur de basketball. On ne dispose pas de donnees sur le nombre d'Espagnols partageant les deux passions. Dans ces circonstances, on ne peut pas determiner exactement combien d'Espagnols ont l'une des deux passions, mais on peut assurer que le pourcentage d'Espagnols ayant l'une de ces passions ne depasse pas 35%.
F = amateurs de football (25%), B = amateurs de basketball (10%)
#(F ∪ B) = #(F) + #(B) - #(F ∩ B)
Minimum de #(F ∩ B) = 0 (disjoints)
Maximum de #(F ∪ B) = 25 + 10 - 0 = 35%
S'il y a intersection, le pourcentage sera inferieur a 35%.
[Exercice 50] Si 80% des eleves d'un cours reussissent la matiere X et 70% reussissent la matiere Y, sur 100 eleves, l'ensemble A des reussis en X a une cardinalite de 80 et l'ensemble B des reussis en Y a une cardinalite de 70. Combien ont reussi les deux matieres ?
#(A) = 80, #(B) = 70, #(U) = 100
#(A ∪ B) ≤ 100
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
100 ≥ 80 + 70 - #(A ∩ B)
#(A ∩ B) ≥ 150 - 100 = 50
Au moins 50 eleves ont reussi les deux matieres.
Le maximum serait 70 (si tous ceux de B ont aussi reussi A).