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Resolvez les exercices suivants en utilisant la methode de deduction naturelle proposee par Gentzen pour la logique propositionnelle en appliquant les regles d'inference derivees exposees dans la theorie de la demonstration :

NIVEAU 1

[Exercice 7] [Exercice 8]

-1. ~p -> ~q

 |-p -1. p -> q ^r |-~p
-2. q   -2. ~q v ~r  
3. q -> p Contr 1    
4. p E->1    

NIVEAU 2

[Exercice 9] [Exercice 10]

-1. p v q

 |-~t -1. (p v q) -> r v ~(s -> t) |-~p ^~q
-2. t -> ~p   -2. ~(s v t) ^ ~r  
-3. ~(q v r)   3. ~(svt) E^2
    4. ~r E^2
    5. ~s ^ ~t DM v/^3
    6. ~s E^5
    7. ~s v t Iv 6
    8. s->t Def v/->7
    9. ~r ^ (s->t) I^4, 8
    10.~(r v ~s->t) Def ^/v 9
    11. ~(p v q) MT 1, 10
    12. ~p ^~q DM ^/v 11

NIVEAU 3

[Exercice 11] [Exercice 12]

-1. p v q <-> r v s

 |-~p v ~q   |-(p ^ q -> r) <->(p ^ ~r -> ~q)
-2. ~( m ^~n)      
-3. w v n      
-4. ( r-> t) -> u ^ (w -> m)      
-5. ~(n v ~t)      
6. ~n ^ t DM ^/v 5    
7. ~n E^6    
8. ~m v n DM v/^ 2    
9. ~m SD 7,8    
10. t E^6    
11. r->t Crpr 10    
12. u^(w -> m) E->4, 11    

13. w -> m

 E^12    
14. w SD 3, 7    
15. m E->13, 14    
16. m ^~m I^ 9, 15    
17. ~p v ~q EXQ 16    

 

 

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