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(6) Effectuez les operations suivantes en utilisant la cardinalite des ensembles :
Etant #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20, effectuez les operations suivantes.
1. [Exercice 41]
Si (A ∩ B) sont disjoints, #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= 2 + 5- 0
#(A ∩ B)= 7
2. [Exercice 42]
Si C est disjoint de (A ∩ B) et A={a,b} et B={b, c, d, f, g}, quelle est la cardinalite de # ((A ∩ B) ∪ C)?
3. [Exercice 43]
Si A={a,b}, B={b, c, d, f, g} et C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s , t, v}, quelle est la cardinalite de
# ((B ∩ C) ∪ A) ?
B ⊂ C, donc la cardinalite de #(B ∩ C) sera la cardinalite de #(C)
#(B ∩ C) = 20
A ⊂ C, donc #(B ∩ C) = #((B ∩ C) ∪ #(A))
#((B ∩ C) ∪ #(A))=20
4. [Exercice 44] Tous les ensembles etant disjoints, calculez
#((A∪ B) - (A ∩ B))
5. [Exercice 45]
Si C est disjoint et A et B ont deux elements en commun, calculez
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])?
| (A ∩ B) ∪ C) | (B ∩ C) ∪ A |
|---|---|
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 A ⊂ B #(A ∩ B)= 5 #(A ∩ B) = 5 #((A ∩ B) ∪ C)= 25 |
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 #((B ∩ C))= 25 #(A)=2 A ⊂ B #((B ∩ C) ∪ A)= 25 |
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A)])= 25 - 25= 0 |
|
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])= 0
Problemes de cardinalite des ensembles :
6. [Exercice 46] Supposons qu'une entite bancaire a realise une enquete sur la situation economique des familles espagnoles. Selon les resultats de l'enquete, 30% des familles payaient un credit hypothecaire, 40% payaient un credit pour acheter une voiture et 10% payaient les deux credits. L'entite souhaite savoir quel pourcentage de familles ne paient ni credits hypothecaires ni credits pour l'achat d'une voiture.
Solution :
Par proportionnalite, il suffit de raisonner sur un univers de 100 familles. Appelons A l'ensemble des familles, parmi les 100, qui paient un credit hypothecaire et B l'ensemble des familles qui paient un credit pour l'achat d'une voiture. Selon les donnees, sur 100 familles, 30 appartiennent a A et 40 appartiennent a B, donc #(A)=40 et #(B)=30, d'ou #(A ∩ B)= 10. Alors, celles qui paient l'un des credits seront :
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
= 30 + 40 - 10
=60
et celles qui ne paient aucun des deux credits seront
#((A ∪ B)c) = #(U) - #((A ∪ B))= 100 - 60= 40
7. [Exercice 47]
8. [Exercice 48] Supposons qu'a une reunion il y a 40 personnes qui parlent l'une des langues suivantes : allemand, espagnol ou anglais. On sait que 22 parlent allemand, 26 ne parlent pas anglais, 30 parlent une seule langue, 30 parlent anglais ou allemand, 7 parlent anglais mais pas espagnol et 17 parlent allemand mais pas espagnol. On souhaite repondre a des questions telles que : Combien de personnes parlent les trois langues ? Combien de personnes parlent uniquement espagnol ? Combien parlent espagnol mais pas anglais ?
Solution :
Appelons A, B et C, respectivement, les ensembles de personnes qui parlent allemand, espagnol et anglais. Toutes les relations entre ces ensembles peuvent etre representees dans un diagramme de Venn :
Si nous formalisons les donnees de l'enonce, nous obtiendrons les donnees suivantes :
| Numero | Enonce | Formalisation | Cardinalite | Quantite |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Personnes au total | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VI) +#(VII) = | 40 |
| 2 | Parlent allemand | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(V)= | 22 |
| 3 | Ne parlent pas anglais | A ∩ Bc ∩ C | #(II) +#(V) +#(VI)= | 26 |
| 4 | Parlent une seule langue | Ac ∩ B ∩ C | #(V) +#(VI)+#(VII)= | 30 |
| 5 | Parlent anglais ou allemand | A ∩ Bc ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = | 30 |
| 6 | Parlent anglais mais pas espagnol | Ac ∩ B ∩ Cc | #(III) + #(VII) = | 7 |
| 7 | Parlent allemand mais pas espagnol | Ac∩ Bc ∩ Cc | #(III) + #(V) = | 17 |
Combien de personnes parlent uniquement espagnol ?
Repondre a cela est simple. (2) sont ceux qui parlent anglais ou allemand. Si nous soustrayons (2) au nombre total de personnes (1), nous obtenons le nombre de personnes qui parlent uniquement espagnol.
(1)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) + #(VI) #(VII) =40
(2)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(VI)=#(1)-#(2)
#(VI)=10
Les personnes qui parlent uniquement espagnol sont 10.
Combien de personnes parlent les trois langues ?
Pour decouvrir ce chiffre, il est necessaire d'effectuer plus d'operations... Observons le nombre de personnes qui parlent une seule langue (4)
#(4)= #(V) + #(VI) +#(VII) = 30
#(VI)= 10
#(V) + #(VII) = 20
Nous savons que 10 personnes parlent uniquement espagnol. Par consequent, nous pouvons deduire que 20 personnes parlent soit anglais, soit allemand.
Maintenant, nous allons decouvrir le nombre de personnes qui parlent anglais mais pas espagnol et le nombre de personnes qui parlent allemand mais pas espagnol. Et avec cette donnee, ainsi que notre connaissance du nombre de locuteurs qui parlent uniquement anglais ou uniquement allemand, nous deduirons ceux qui parlent espagnol et anglais :
#(6) +#(7)= 2x#(III) +#(V) + #(VII)=24
#(V)+#(VII)=20
2x#(III)=4
#(III)=2
Nous savons maintenant que le nombre de personnes qui parlent espagnol et allemand est 4 (#III). Il est maintenant facile de deduire ceux qui parlent uniquement anglais et ceux qui parlent uniquement allemand.
#(6)= #(III) +#(VII)=7
#(III)=2
#(VII)=5
3 personnes parlent uniquement anglais (#VII).
#(7)= #(III) + #(V)=17
#(III)=2
#(V)=15
15 sont ceux qui parlent allemand.
Sachant ceux qui ne parlent pas anglais #(2) et ceux qui parlent allemand #(V) et ceux qui parlent uniquement espagnol #(VI), nous pouvons deduire ceux qui parlent allemand et espagnol #(II).
#(3)=#(II) + #(V) +#(VI)=26
#(V)= 15
#(VI)= 10
Donc, #(II)=1
Comme nous savons ceux qui parlent allemand #(2), ceux qui parlent allemand et espagnol #(II), ceux qui parlent anglais et allemand #(III) et, enfin, ceux qui parlent uniquement allemand #(V), nous pouvons definitivement deduire le nombre de personnes qui parlent les trois langues.
#(2)=#(I)+#(II)+#(III)+#(V)=22
#(II)=1
#(III)=2
#(V)=15
Donc, #(I)= 4
Combien de personnes parlent espagnol mais pas anglais ?
D'abord, nous deduirons la valeur de #(IV) a partir des donnees disponibles et de #(5) :
#(5)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(I)= 4
#(II)= 1
#(III)= 2
#(V) = 15
#(VII)= 5
Donc, #(IV)= 3
et avec cette donnee, nous deduisons par cette operation le nombre d'Espagnols qui ne savent pas anglais :
#(IV) + #(VI)=
#(IV)=3
#(VI)=10
15
Le nombre d'Espagnols qui ne savent pas anglais est de 15.
Exercice resolu !
9. [Exercice 49] D'une enquete, il ressort qu'un Espagnol sur quatre est amateur de football et qu'un sur dix est amateur de basketball. On ne dispose pas de donnees sur le nombre d'Espagnols partageant les deux passions. Dans ces circonstances, on ne peut pas determiner exactement combien d'Espagnols ont l'une des deux passions, mais on peut assurer que le nombre d'Espagnols ayant l'une de ces passions ne sera pas superieur a la somme des amateurs de football et des amateurs de basketball. Comme, sur 100 Espagnols, il y a 25 amateurs de football et 10 amateurs de basketball, on peut assurer que le pourcentage d'Espagnols ayant l'une de ces passions ne depasse pas 35%.
10. [Exercice 50] Si 80% des eleves d'un cours reussissent la matiere X et 70% reussissent la matiere Y, sur 100 eleves, l'ensemble A des reussis en X a une cardinalite de 80 et l'ensemble B des reussis en Y a une cardinalite de 70. Combien ont reussi les deux matieres ?
Solution :
#(A ∩ B) ≥ #(A) +#(B) -#(U)= 80 + 70 -100=50
Par consequent, au moins 50% des eleves auront reussi les deux matieres.
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