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集合论练习解答

(1) 用内涵（描述或理解方式）定义以下用外延（或枚举方式）定义的集合：

 

[练习 1] P={韦尔瓦, 塞维利亚, 科尔多瓦, 哈恩, 加的斯, 马拉加, 格拉纳达, 科尔多瓦}

P= {x/ x 是安达卢西亚省份}

[练习 2] P={ 安蒂奥基亚, 玻利瓦尔, 博亚卡, 卡尔达斯, 考卡, 乔科, 昆迪纳马卡, 乌伊拉, 瓜希拉, 梅塔, 纳里尼奥, 北桑坦德, 桑坦德, 苏克雷, 托利马, 考卡山谷 }

P= {x/ x 是哥伦比亚省份}

[练习 3] P={1,2,3,4,5,6,7,8,9...}

P= {x/ x ∈ ℕ} (x 是自然数)

[练习 4] P={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

P= {x/ x ∈ ℤ} (x 是整数)

[练习 5] P={集合论, 模型论, 证明论, 可计算性理论...}

P= {x/ x 是数理逻辑的分支}

[练习 6] P={ <胡里奥·伊格莱西亚斯·德拉库埃瓦, 恩里克·伊格莱西亚斯>, <胡里奥·伊格莱西亚斯·德拉库埃瓦, 胡里奥·何塞·伊格莱西亚斯>}

P= { ∈ CxC/ y 是歌手 x 的儿子}，其中 C={x/x 是歌手}

[练习 7] P={5, 10, 15, 20...}

P= {x/ x 是5的倍数}

[练习 8] P= {...<1,-1>, <2, -2> <3, -3>, <4, -4>, <5, -5>...}

P= { ∈ ℤxℤ/ y = -x}

[练习 9] P={<路易斯·古铁雷斯·阿尔瓦雷斯, 76849912A>, <阿德里安·戈麦斯·莱林, 48593254Z>, <安东尼奥·班德拉斯·罗迪略, 65749934H}

P= { ∈ HxD/ y 是 x 的身份证号}，其中 H=人，D=身份证号

[练习 10] P={<1,1>, <2,4>, <3, 9>, <4,16>, <5,25>...}

P= { ∈ ℕxℕ/ y = x²}

 

(2) 用外延定义以下用内涵定义的集合：

 

[练习 11] P={x ∈ H/ x 是杰克逊五人组成员}

P= {迈克尔·杰克逊, 杰基·杰克逊, 提托·杰克逊, 杰梅因·杰克逊, 马龙·杰克逊}

[练习 12] P={x/x 是披头士乐队成员}

P= {约翰·列侬, 保罗·麦卡特尼, 乔治·哈里森, 林戈·斯塔尔}

[练习 13] P= {x/ x² - 4=0}

x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2

P= {2, -2}

[练习 14] P={x/ x² - 48x + 578 = 0}

使用求根公式：x = (48 ± √(2304-2312))/2

由于判别式为负，P= Ø（空集）

[练习 15] P={x / x 是哈利·波特系列小说之一}

P= {哈利·波特与魔法石, 哈利·波特与密室, 哈利·波特与阿兹卡班囚徒, 哈利·波特与火焰杯, 哈利·波特与凤凰社, 哈利·波特与混血王子, 哈利·波特与死亡圣器}

[练习 16] P={x/x 是一种体型}

P= {外胚型, 中胚型, 内胚型}

[练习 17] P={ ∈ N x N/ y= x+1}

P= {<1,2>, <2,3>, <3,4>, <4,5>, <5,6>...}

[练习 18] P={ ∈ NxN/ x+y=170}

P= {<1,169>, <2,168>, <3,167>, ... <85,85>, ... <169,1>}

[练习 19] P={ ∈ SxA/ y 是 x 的 ASCII 码}，其中 S 是计算机符号，A 是 ASCII 数字。

P= {, , , , ... , , ... ...}

[练习 20] P={ ∈ NxR/ x 是 y 对应的数字}，其中 N 是自然数，R 是罗马数字系统中的数字。

P= {<1,I>, <2,II>, <3,III>, <4,IV>, <5,V>, <6,VI>, <7,VII>, <8,VIII>, <9,IX>, <10,X>...}

 

(3) 完成以下集合运算并用韦恩图表示：

 

设 A= {0,1,2}，B={0,1,{2}}，C={4,5}，表示并计算以下运算：

 

[练习 21] A ∩ B

A ∩ B = {0, 1}

A 和 B 的公共元素是 0 和 1。注意：{2} ∈ B 但 2 ∈ A，它们是不同的。

[练习 22] A ∪ B

A ∪ B = {0, 1, 2, {2}}

并集包含两个集合的所有元素。

[练习 23] A - C

A - C = {0, 1, 2}

由于 A 和 C 不相交（没有公共元素），A - C = A

[练习 24] A ∪ B ∪ C

A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, {2}, 4, 5}

[练习 25] A ∩ (B ∪ C)

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}

[练习 26] (B ∪ C) - (A ∩ B)

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ B = {0, 1}

(B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}

[练习 27] P(A) ∩ B

P(A) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}

P(A) ∩ B = {{2}}

同时属于 P(A) 和 B 的唯一元素是 {2}

[练习 28] A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)

B ∩ C = Ø

A ∪ (B ∩ C) = A ∪ Ø = {0, 1, 2}

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}

A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2} - {0, 1} = {2}

[练习 29] A ∩ A - A ∪ A

A ∩ A = A = {0, 1, 2}

A ∪ A = A = {0, 1, 2}

A - A = Ø

[练习 30] [A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C) - (A ∩ B)]

由练习 28：A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {2}

由练习 26：(B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}

{2} - {{2}, 4, 5} = {2}

注意：{2} ≠ 2，因此 2 不在第二个集合中。

 

(4) 使用韦恩图验证以下论证的有效性：

 

[练习 31] "没有经验主义者是理性主义者。实证主义者是经验主义者。因此，没有实证主义者是理性主义者。"

集合： E={x/x 是经验主义者}，R={x/x 是理性主义者}，P={x/x 是实证主义者}

形式化：

1. E ∩ R = Ø（没有经验主义者是理性主义者）

2. P ⊆ E（实证主义者是经验主义者）

结论： P ∩ R = Ø

论证有效。如果 P ⊆ E 且 E ∩ R = Ø，则必然 P ∩ R = Ø。

[练习 32] "有些数学家是严谨的。有些数学家在计算中会出错。所有计算出错的数学家都不严谨。因此，所有严谨的数学家都不会在计算中出错。"

集合： M={x/x 是数学家}，R={x/x 是严谨的}，F={x/x 在计算中出错}

形式化：

1. M ∩ R ≠ Ø

2. M ∩ F ≠ Ø

3. (M ∩ F) ∩ R = Ø

结论： (M ∩ R) ∩ F = Ø

论证有效。前提3表明出错的人不严谨，这等价于说严谨的人不出错。

[练习 33] "有信仰的不可知论者和没有信仰的不可知论者都存在。没有无神论者是信徒。所有不可知论者都是无神论者。因此，有些无神论者既不是信徒也不是不可知论者。"

集合： C={x/x 是信徒}，G={x/x 是不可知论者}，A={x/x 是无神论者}

形式化：

1. C ∩ G ≠ Ø（有信仰的不可知论者存在）

2. C - G ≠ Ø（没有信仰的不可知论者存在）

3. A ∩ C = Ø（没有无神论者是信徒）

4. G ⊆ A（所有不可知论者都是无神论者）

问题：前提1和4一起意味着 C ∩ A ≠ Ø，但前提3说 A ∩ C = Ø。

前提不一致。

[练习 34] "所有舞者都是自我中心的。有些自我中心的人喜欢被关注，尽管有些人不喜欢。喜欢被关注的人是舞者，不喜欢的人也是舞者。因此，所有自我中心的人都是舞者。"

集合： B={x/x 是舞者}，E={x/x 是自我中心的}，G={x/x 喜欢被关注}

形式化：

1. B ⊆ E（所有舞者都是自我中心的）

2. E ∩ G ≠ Ø 且 E - G ≠ Ø（有些自我中心的人喜欢，有些不喜欢）

3. (E ∩ G) ⊆ B 且 (E - G) ⊆ B

由3： E ⊆ B

结论： E ⊆ B（所有自我中心的人都是舞者）

论证有效。

[练习 35] "哲学家是智慧的爱好者。有些智慧的爱好者追求善。因此，有些哲学家追求善。"

集合： F={x/x 是哲学家}，A={x/x 是智慧的爱好者}，P={x/x 追求善}

形式化：

1. F ⊆ A（哲学家是智慧的爱好者）

2. A ∩ P ≠ Ø（有些爱好者追求善）

结论： F ∩ P ≠ Ø

论证无效。有些智慧的爱好者追求善并不能保证这些人是哲学家。可能存在追求善的智慧爱好者但不是哲学家。

 

(5) 简化以下集合：

字母"c"表示补集。

 

[练习 36] (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)

(A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)

= A ∩ (B ∩ Bᶜ) [结合律]

= A ∩ Ø [B ∩ Bᶜ = Ø]

= Ø

[练习 37] (Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A

(Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A

= (A ∪ Bᶜ) ∪ (Bᶜ ∩ A) ∪ A [德摩根律]

= (A ∪ Bᶜ) ∪ A [吸收律：(Bᶜ ∩ A) ⊆ A]

= A ∪ Bᶜ [吸收律：A ⊆ (A ∪ Bᶜ)]

= A ∪ Bᶜ

[练习 38] (A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)

(A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)

= (A ∩ Aᶜ) ∩ (Bᶜ ∩ B) [交换律和结合律]

= Ø ∩ Ø

= Ø

[练习 39] (A ∪ A) - (A ∩ B)

(A ∪ A) - (A ∩ B)

= A - (A ∩ B) [幂等律：A ∪ A = A]

= A ∩ (A ∩ B)ᶜ [差集定义]

= A ∩ (Aᶜ ∪ Bᶜ) [德摩根律]

= (A ∩ Aᶜ) ∪ (A ∩ Bᶜ) [分配律]

= Ø ∪ (A ∩ Bᶜ)

= A ∩ Bᶜ（或 A - B）

[练习 40] (A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)

(A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)

= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)ᶜ [德摩根律：Bᶜ ∪ Aᶜ = (A ∩ B)ᶜ]

= U（全集）

 

(6) 使用以下集合的基数进行运算：

 

已知 #(A)=2，#(B)=5，#(C)=20，完成以下运算。

 

[练习 41] 如果 A 和 B 不相交，求 #(A ∪ B)

如果 A ∩ B = Ø（不相交）：

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)

#(A ∪ B) = 2 + 5 - 0 = 7

[练习 42] 如果 C 与 (A ∩ B) 不相交，且 A={a,b}，B={b, c, d, f, g}，求 #((A ∩ B) ∪ C) 的基数是多少？

A ∩ B = {b}，因此 #(A ∩ B) = 1

由于 C 与 (A ∩ B) 不相交：

#((A ∩ B) ∪ C) = #(A ∩ B) + #(C) = 1 + 20 = 21

[练习 43] 如果 A={a,b}，B={b, c, d, f, g}，C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, r, s, t, v}，求 #((B ∩ C) ∪ A) 的基数是多少？

B ∩ C = {b, c, d, f, g}（B ⊂ C），#(B ∩ C) = 5

A = {a, b}

(B ∩ C) ∪ A = {a, b, c, d, f, g}

#((B ∩ C) ∪ A) = 6

[练习 44] 假设所有集合都不相交，计算 #((A ∪ B) - (A ∩ B))

如果 A 和 B 不相交：A ∩ B = Ø

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) = 2 + 5 = 7

(A ∪ B) - (A ∩ B) = (A ∪ B) - Ø = A ∪ B

#((A ∪ B) - (A ∩ B)) = 7

[练习 45] 如果 C 不相交，且 A 和 B 有两个共同元素，计算 #([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A])

#(A ∩ B) = 2

C 与 A 和 B 不相交：B ∩ C = Ø，A ∩ C = Ø

(A ∩ B) ∪ C：有 2 + 20 = 22 个元素

(B ∩ C) ∪ A = Ø ∪ A = A，有 2 个元素

由于 (A ∩ B) ⊆ A：[(A ∩ B) ∪ C] - A = C

#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A]) = #(C) = 20

[练习 46] 假设某银行对西班牙家庭的经济状况进行了调查。根据调查结果，30%的家庭正在偿还住房抵押贷款，40%的家庭正在偿还汽车贷款，10%的家庭同时偿还两种贷款。该银行想知道既不偿还住房抵押贷款也不偿还汽车贷款的家庭比例是多少。

H = 有住房抵押贷款的家庭，C = 有汽车贷款的家庭

#(H) = 30%，#(C) = 40%，#(H ∩ C) = 10%

#(H ∪ C) = #(H) + #(C) - #(H ∩ C) = 30 + 40 - 10 = 60%

没有任何贷款的家庭：100% - 60% = 40%

[练习 47] （待定题目）

题目待定。

[练习 48] 假设在一次会议上有40人会说德语、西班牙语或英语中的至少一种语言。已知22人会说德语，26人不会说英语，30人只会说一种语言，30人会说英语或德语，7人会说英语但不会说西班牙语，17人会说德语但不会说西班牙语。请回答以下问题：有多少人会说三种语言？有多少人只会说西班牙语？有多少人会说西班牙语但不会说英语？

A = 德语，E = 西班牙语，I = 英语

总数 = 40，#(A) = 22，#(Iᶜ) = 26 → #(I) = 14

只会一种语言 = 30，#(I ∪ A) = 30

#(I - E) = 7，#(A - E) = 17

#(A ∪ I) = #(A) + #(I) - #(A ∩ I) → 30 = 22 + 14 - #(A ∩ I) → #(A ∩ I) = 6

只会西班牙语 = 40 - 30 = 10

会说三种语言的人数：使用容斥原理，#(A ∩ E ∩ I) = 4

只会西班牙语：10

会说西班牙语但不会说英语：#(E) - #(E ∩ I) = 13

[练习 49] 一项调查显示，每四个西班牙人中有一个是足球迷，每十个西班牙人中有一个是篮球迷。目前没有关于多少西班牙人同时喜欢这两项运动的数据。在这种情况下，无法准确计算有多少西班牙人喜欢这两项运动中的至少一项，但可以确定的是，喜欢至少一项运动的西班牙人比例不会超过足球迷和篮球迷人数之和。由于每100个西班牙人中有25个足球迷和10个篮球迷，可以确定拥有至少一项爱好的西班牙人比例不超过35%。

F = 足球迷 (25%)，B = 篮球迷 (10%)

#(F ∪ B) = #(F) + #(B) - #(F ∩ B)

#(F ∩ B) 的最小值 = 0（不相交）

#(F ∪ B) 的最大值 = 25 + 10 - 0 = 35%

如果有交集，比例将低于35%。

[练习 50] 如果某课程80%的学生通过了科目 X，70%通过了科目 Y，每100名学生中，通过 X 的学生集合 A 的基数为80，通过 Y 的学生集合 B 的基数为70，有多少学生通过了两门科目？

#(A) = 80，#(B) = 70，#(U) = 100

#(A ∪ B) ≤ 100

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)

100 ≥ 80 + 70 - #(A ∩ B)

#(A ∩ B) ≥ 150 - 100 = 50

至少50名学生通过了两门科目。

最大值为70（如果所有 B 中的学生也通过了 A）。