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(6) 使用以下集合的基数进行运算：
已知 #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20，完成以下运算。
1. [练习 41]
如果 (A ∩ B) 是不相交的，求 #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= 2 + 5- 0
#(A ∩ B)= 7
2. [练习 42]
如果 C 与 (A ∩ B) 不相交，且 A={a,b}，B={b, c, d, f, g}，求 # ((A ∩ B) ∪ C) 的基数是多少？
3. [练习 43]
如果 A={a,b}，B={b, c, d, f, g}，C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, r, s , t, v}，求 # ((B ∩ C) ∪ A) 的基数是多少？
B ⊂ C，因此 #(B ∩ C) 的基数等于 #(C) 的基数
#(B ∩ C) = 20
A ⊂ C，因此 #(B ∩ C) = #((B ∩ C) ∪ #(A))
#((B ∩ C) ∪ #(A))=20
4. [练习 44] 假设所有集合都不相交，计算
#((A∪ B) - (A ∩ B))
5. [练习 45]
如果 C 不相交，且 A 和 B 有两个共同元素，计算
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])?
| (A ∩ B) ∪ C) | (B ∩ C) ∪ A |
|---|---|
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 A ⊂ B #(A ∩ B)= 5 #(A ∩ B) = 5 #((A ∩ B) ∪ C)= 25 |
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 #((B ∩ C))= 25 #(A)=2 A ⊂ B #((B ∩ C) ∪ A)= 25 |
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A)])= 25 - 25= 0 |
|
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])= 0
集合基数问题：
6. [练习 46] 假设某银行对西班牙家庭的经济状况进行了调查。根据调查结果，30%的家庭正在偿还住房抵押贷款，40%的家庭正在偿还汽车贷款，10%的家庭同时偿还两种贷款。该银行想知道既不偿还住房抵押贷款也不偿还汽车贷款的家庭比例是多少。
解答：
按比例计算，只需在100个家庭的范围内进行推理。设 A 为这100个家庭中正在偿还住房抵押贷款的家庭集合，B 为偿还汽车贷款的家庭集合。根据数据，每100个家庭中有30个属于 A，40个属于 B，因此 #(A)=40，#(B)=30，则 #(A ∩ B)= 10。那么，偿还任一贷款的家庭数为：
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
= 30 + 40 - 10
=60
而两种贷款都不偿还的家庭数为
#((A ∪ B)c) = #(U) - #((A ∪ B))= 100 - 60= 40
7. [练习 47]
8. [练习 48] 假设在一次会议上有40人会说德语、西班牙语或英语中的至少一种语言。已知22人会说德语，26人不会说英语，30人只会说一种语言，30人会说英语或德语，7人会说英语但不会说西班牙语，17人会说德语但不会说西班牙语。请回答以下问题：有多少人会说三种语言？有多少人只会说西班牙语？有多少人会说西班牙语但不会说英语？
解答：
设 A、B、C 分别表示会说德语、西班牙语和英语的人的集合。这些集合之间的所有关系可以用韦恩图表示：
如果将题目中的数据形式化，我们得到以下数据：
| 编号 | 条件 | 形式化 | 基数 | 数量 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 总人数 | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VI) +#(VII) = | 40 |
| 2 | 会说德语 | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(V)= | 22 |
| 3 | 不会说英语 | A ∩ Bc ∩ C | #(II) +#(V) +#(VI)= | 26 |
| 4 | 只会说一种语言 | Ac ∩ B ∩ C | #(V) +#(VI)+#(VII)= | 30 |
| 5 | 会说英语或德语 | A ∩ Bc ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = | 30 |
| 6 | 会说英语但不会说西班牙语 | Ac ∩ B ∩ Cc | #(III) + #(VII) = | 7 |
| 7 | 会说德语但不会说西班牙语 | Ac∩ Bc ∩ Cc | #(III) + #(V) = | 17 |
有多少人只会说西班牙语？
这个问题很容易回答。(2) 是会说英语或德语的人。如果从总人数 (1) 中减去 (2)，就得到只会说西班牙语的人数。
(1)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) + #(VI) #(VII) =40
(2)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(VI)=#(1)-#(2)
#(VI)=10
只会说西班牙语的人有10人。
有多少人会说三种语言？
要找出这个数字需要进行更多运算...让我们观察只会说一种语言的人数 (4)
#(4)= #(V) + #(VI) +#(VII) = 30
#(VI)= 10
#(V) + #(VII) = 20
我们知道10人只会说西班牙语。因此，可以推断出20人要么会说英语，要么会说德语。
现在我们来确定会说英语但不会说西班牙语的人数和会说德语但不会说西班牙语的人数。通过这些数据，结合只会说英语或只会说德语的人数，我们可以推断出会说西班牙语和英语的人数：
#(6) +#(7)= 2x#(III) +#(V) + #(VII)=24
#(V)+#(VII)=20
2x#(III)=4
#(III)=2
我们已经知道会说西班牙语和德语的人数是4人 (#III)。现在很容易推断出只会说英语和只会说德语的人数。
#(6)= #(III) +#(VII)=7
#(III)=2
#(VII)=5
3人只会说英语 (#VII)。
#(7)= #(III) + #(V)=17
#(III)=2
#(V)=15
会说德语的人有15人。
知道不会说英语的人数 #(2)、会说德语的人数 #(V) 和只会说西班牙语的人数 #(VI)，我们可以推断出会说德语和西班牙语的人数 #(II)。
#(3)=#(II) + #(V) +#(VI)=26
#(V)= 15
#(VI)= 10
因此，#(II)=1
由于我们知道会说德语的人数 #(2)、会说德语和西班牙语的人数 #(II)、会说英语和德语的人数 #(III)，以及只会说德语的人数 #(V)，我们可以最终确定会说三种语言的人数。
#(2)=#(I)+#(II)+#(III)+#(V)=22
#(II)=1
#(III)=2
#(V)=15
因此，#(I)= 4
有多少人会说西班牙语但不会说英语？
首先通过可用数据和 #(5) 推断 #(IV) 的值：
#(5)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(I)= 4
#(II)= 1
#(III)= 2
#(V) = 15
#(VII)= 5
因此，#(IV)= 3
通过以下运算，我们可以推断出会说西班牙语但不会说英语的人数：
#(IV) + #(VI)=
#(IV)=3
#(VI)=10
15
会说西班牙语但不会说英语的人数是15人。
练习完成！
9. [练习 49] 一项调查显示，每四个西班牙人中有一个是足球迷，每十个西班牙人中有一个是篮球迷。目前没有关于多少西班牙人同时喜欢这两项运动的数据。在这种情况下，无法准确计算有多少西班牙人喜欢这两项运动中的至少一项，但可以确定的是，喜欢至少一项运动的西班牙人比例不会超过足球迷和篮球迷人数之和。由于每100个西班牙人中有25个足球迷和10个篮球迷，可以确定拥有至少一项爱好的西班牙人比例不超过35%。
10. [练习 50] 如果某课程80%的学生通过了科目 X，70%通过了科目 Y，每100名学生中，通过 X 的学生集合 A 的基数为80，通过 Y 的学生集合 B 的基数为70，有多少学生通过了两门科目？
解答：
#(A ∩ B) ≥ #(A) +#(B) -#(U)= 80 + 70 -100=50
因此，至少50%的学生通过了两门科目。
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