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Problemas de logica matematica resolvidos para praticar o engenho
(0) Problemas de logica matematica que deves demonstrar mediante algum metodo logico
[0.1] Roque, um barbeiro de Batuecas, barbeia todos os habitantes que nao se barbeiam a si mesmos e so a eles. Porque e que isto e impossivel?
RESPOSTA INTUITIVA:
Suponhamos que Roque se barbeia a si mesmo: nesse caso dado que e habitante de Batuecas, nao deveria barbear-se a si mesmo. Mas o certo e que se barbeia.
Agora, suponhamos que Roque nao se barbeia a si mesmo: Pois bem, nesse caso Roque barbeia-se a si mesmo por essa mesma razao.
RESPOSTA MATEMATICA:
Isto demonstra que estas premissas levam a uma contradicao, ou seja, que Roque corta e nao corta o cabelo a si mesmo. Dado que estas duas premissas nos levam a uma contradicao podemos afirmar que ambas as premissas sao inconsistentes. Impossivel!
[0.2] Um jornalista entrevista um anciao centenario e este revela-lhe o segredo da sua longevidade: "Se nao bebo cerveja, entao como peixe" e "Nao como peixe, se tomo gelado ou nao bebo cerveja". E possivel levar um regime assim? Qual e o ingrediente secreto?
Formalizacao:
"Se nao bebo cerveja, entao como peixe" = -p -> q
"Nao como peixe, se tomo gelado ou nao bebo cerveja" = r v -p -> -q
Tres alternativas na sua dieta:
1. Cerveja e nada de gelado.
2. Cerveja e nada de peixe
3. Cerveja, peixe e nada de gelado.
O ingrediente da longevidade e a Cerveja!
[0.3] Ao logico Caferino perguntaram-lhe: Amas a Queta, a Petra ou a Rosana? Ele pensou: "Amo pelo menos uma das tres. Se amo a Petra, mas nao a Queta, entao amo a Rosana. Ou bem amo a Queta ou a Rosana, ou nao amo nenhuma das tres. Se amo a Queta, tambem amo a Petra." A quem ama o logico Caferino?
Formalizacao:
1. p v q v r (Amo pelo menos uma das tres)
2. (p ^ -q -> r) (Se amo a Petra, mas nao a Queta, entao amo a Rosana)
3. [(q v r) ^ -(q^r)) v -(p v q v r)] (Ou bem amo a Queta ou a Rosana, ou nao amo nenhuma)
4. q -> p (Se amo a Queta, tambem amo a Petra)
Tres solucoes:
1. Ama a Petra e Queta, mas nao Rosana.
2. Ama a Petra e a Rosana, mas nao Queta.
3. So ama a Rosana.
[0.4] Uma chapeleira contem 5 chapeus (3 brancos e 2 pretos). 3 logicos vendam os olhos e poem um chapeu. O primeiro diz "Nao sei de que cor e o meu chapeu". O segundo diz "Eu tambem nao". O terceiro, sem tirar a venda, afirma "O meu e branco". Como o deduziu?
Se A o sabe entao B e C tem-no preto. Portanto, se nao o sabem, pelo menos um tem-no branco.
Isso significa que se C o tem preto entao B tem-no Branco. B sabe-o.
B ao olhar para C e nao o sabe. Se B o soubesse, entao C te-lo-ia tido preto.
C sabe que A e B nao o sabem, portanto, sabe que o seu e branco.
(1) Problemas de logica matematica mediante tabelas de verdade
[1.1] Um assessor de imagem deve assessorar uma cliente sobre acessorios para um casamento. Tem: brincos azuis, colar de perolas, pulseira preta, brincos vermelhos, cinto castanho, colar vermelho. Quer levar exatamente 2 complementos. (a) Quantas combinacoes sem restringir? (b) Combinacoes com um vermelho e outro preto? (c) Combinacoes com maximo 2? (d) Combinacoes com vermelhos e outros, so 2 acessorios?
a=brincos azuis, b=colar de perolas, c=pulseira preta, d=brincos vermelhos, f=cinto castanho, g=colar vermelho
(1) 2 elevado a 6 = 64 opcoes de combinar os seus complementos.
(2) Dois acessorios: um vermelho e outro preto; e no maximo dois complementos.
Solucao: (d ^ c) v (g ^ c) = (d v g) ^ c
(3) 15 combinacoes possiveis.
(4) 20 combinacoes possiveis.
[1.2] Um hacker precisa determinar quatro valores booleanos (1 ou 0) para superar um sistema de seguranca. Decidiu aplicar forca bruta. Podes representar numa tabela de verdade todas as possiveis combinacoes?
Sendo 4 valores booleanos (p, q, r, s), o numero total de combinacoes possiveis e:
2^4 = 16 combinacoes possiveis
Pode-se representar numa tabela de verdade com 16 linhas, uma para cada combinacao de valores 0 e 1 para as quatro variaveis.
[1.3] Um coreografo enumera as maneiras em que um bailarino pode segurar uma bailarina: costas, braco esquerdo, braco direito, pescoco ou perna esquerda. (a) Sem limitacao fisica, quantas combinacoes? (b) So 2 lugares, com restricoes: nao ambos os bracos, e se pescoco deve segurar de outro lugar.
(a) Sem limitacao fisica: 2^5 = 32 combinacoes possiveis (5 lugares do corpo)
(b) So pode segura-la de dois lugares ao mesmo tempo:
Combinacoes de 5 elementos tomados de 2 em 2 = C(5,2) = 10 combinacoes
Com as restricoes adicionais:
- Se a segura de um braco, nao segura-la com o outro braco
- Se a segura pelo pescoco, deve segura-la de algum outro lugar
Reduzem-se as combinacoes eliminando as que violam estas regras.
[1.4] Numa paragem de autocarro nao nos lembramos qual nos leva a casa. So operam as linhas 34, 43, 23. O 34 nao liga com nenhuma linha nem faz transbordo, mas lembras-te que da ultima vez fizeste transbordo. Quantas possibilidades logicas existem de te perderes?
Variaveis: p=linha 34, q=linha 43, r=linha 23
Restricao: O 34 nao liga com nenhuma linha nem faz transbordo.
Lembramo-nos que da ultima vez fizemos transbordo, portanto o 34 nao e a correta.
Com esta informacao, as possibilidades de se perder dependem de escolher entre 43 ou 23.
Possibilidades logicas de se perder: 2 opcoes possiveis (escolher 43 ou 23 incorretamente)
[1.5] Num exame de conducao: "Considera-se condutor a pessoa... (a) Que conduz um ciclomotor de duas rodas. (b) Que maneja um volante quando circula em praticas. (c) Que maneja o mecanismo de direcao ou vai ao comando do veiculo." Qual tem mais interpretacoes verdadeiras?
Analisando cada opcao:
a) "Conduz um ciclomotor de duas rodas" - condicao especifica
b) "Maneja um volante de um veiculo quando circula em praticas" - condicao especifica
c) "Maneja o mecanismo de direcao ou vai ao comando do veiculo" - condicao disjuntiva
A opcao c) tem mais interpretacoes verdadeiras porque e uma disjuncao (v), que e verdadeira quando pelo menos uma das duas partes e verdadeira.
Numa tabela de verdade, a disjuncao tem 3 casos verdadeiros de 4 possiveis, enquanto as outras opcoes sao mais restritivas.