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Regole di inferenza
| Legenda | |
|---|---|
| α, β, γ | Sono formule ben formate. |
| ψ | E un relatore (P, Q, R...) |
| c, c´, c´´... | E una costante individuale (a, b, c...) |
| v, v´, v´´ | E una variabile individuale (x, y, z...) |
REGOLE BASE
| B | ^ | v | → | ↔ | ¬ | ∀ | ∃ | = | ι |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (I) |
α β -- α ∧ β
|
α --- αVβ |
┌α |... ┗β --- α→β |
α→β β→α --- α↔β |
┌ ¬α |......... ┗β∧¬β ----- α
|
α --- ∀vα |
α --- ∃vα |
ψϲ -- ∀v(v=ϲ →ψv) |
ψ(ιvα) --- ∃v∀v´ ( α ↔ x=y) |
| (E) |
α ∧ β -- α β
|
┌α |... ┗ γ ┌β |... ┗ γ --- γ |
α→β α --- β |
α↔β ---- α→β β→α |
¬¬α ---- α |
∀vα --- α
|
∃vα --- α |
∀v(v=ϲ →ψv) -- ψϲ |
∃v∀v´ ( Φ ↔ x=y) --- ψ(ιvΦ) |
REGOLE DERIVATE
Regole derivate dell'implicazione
| REGOLE | → |
|---|---|
| Transitiva del condizionale (Tr→) | α→β β→γ ---- α→γ |
| Modus Tollens (MT) | α→β ¬β ---- ¬α |
| Dilemmi (Dil) | Dil1 α ∨ β α→γ β→γ ---- γ
Dil2 ¬α ∨ ¬β γ→α γ→β ---- ¬γ |
| Carico di premesse (CrPr) | β ---- α→β |
| Contrapposizione (Ctrp) | α→β ---- ¬β→¬α |
| Mutazione del condizionale (Mut →) | α→(β→γ) ---- β→(α→γ) |
| Importazione/Esportazione(Imp/Exp) | α→(β→γ) ---- α^β→γ |
| Monotonia (Mon) | α→β ---- α ∧ γ→β |
Regole derivate della congiunzione / disgiunzione
| REGOLE | ^ | v |
|---|---|---|
| Sillogismo Disgiuntivo (SD) | α ∨ β ¬α ---- β
α ∨ β ¬β ---- α |
|
| Idempotenza (Idp ∧ / Idp v) | α ∧ α ----- α |
α ∨ α ---- α |
| Assorbimento (Absc ^/Absc v) | α ∧ (α ∨ β) ---- α |
α ∨ (α ∧ β) ---- α |
| Commutativa (Conm ^) | α ∧ β ---- β ∧ α |
α ∨ β ---- β ∨ α |
| Associativa (Asoc ^/Asoc v) | (α ∧ β) ∧ γ ---- α ∧ (β ∧ γ) |
(α ∨ β) ∨ γ ---- α ∨ (β ∨ γ) |
| Distributiva (Dist ^/Dist v) | α ∧ (β ∨ γ) ---- (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) |
α ∨ (β ∧ γ) ---- (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) |
Regole derivate dei quantificatori
| REGOLE | ∀ | ∃ | ||
|---|---|---|---|---|
| Negazione del Generalizzatore o Particolarizzatore (Neg Gen o Neg Par) | ¬∀vα ---- ∃v¬α |
¬∃vα ---- ∀v¬α |
||
| Discesa del quantificatore (Des Cuant) | ∀vα ---- ∃vα |
---- | ||
| Mutazione di variabile (Mut Var) | ∀vα ---- ∀v´α |
∃vα ---- ∃v´α |
||
| Contrazione del Generalizzatore o Particolarizzatore (Contrac Gen Disy o Contrac Part Cond) | ∀vα ∨ ∀vβ ---- ∀v(α ∨ β) |
∃vα → ∃vβ ---- ∃v(α → β) |
||
Permutazioni di generalizzatori (Perm Gen) |
∀v∀v´α ----- ∀v´∀vα |
∃v∃v´α ----- ∃v´∃vα |
||
∃v∀v´α ----- ∀v´∃vα |
||||
| Distributiva del Generalizzatore o Particolarizzatore in congiunzione (Dist Gen ∧ / Dist Part ^) | ∀v(α ∧ β) ---- ---- ∀vα ∧ ∀vβ |
∃v(α ∧ β)
---- ∃vα ∧ ∃vβ |
||
| Distributiva del Particolarizzatore nella disgiunzione ( Dist Part v) | ---- | ∃v(α ∨ β) ---- ---- ∃vα ∨ ∃vβ |
||
| Distribuzione di Generalizzatore e Particolarizzatore nel condizionale (Dist Gen →/Dist Part →) | ∀v(α→β) ----
∀vα→∀vβ |
∃v(α→β) ---- ---- ∀vα→∃vβ |
||
| Distribuzione del Generalizzatore nel Bicondizionale (Dist Gen ↔) | ∀v(α↔β)
----
∀vα↔∀vβ |
|||
Distribuzione Condizionata del generalizzatore per congiunzione, disgiunzione, antecedente e conseguente. (Dist Gen ^/v/Antec/Consec) |
α ∧ ∀vβ ---- ∀v(α ^β) |
α ∨ ∀vβ ---- ∀v(α vβ) |
∀vβ → α --- ∃v(β →α) |
α→∀vβ ---- ∀v(α→β) |
Distribuzione Condizionata del particolarizzatore per congiunzione, disgiunzione, antecedente e conseguente. (Dist Part) ^/v/Antec/Consec) |
α ∧ ∃vβ ---- ∃v(α ^β) |
α ∨ ∃vβ ---- ∃v(α vβ) |
∃vβ → α --- ∀v(β →α) |
α→∃vβ ---- ∃v(α→β) |
Regole derivate dell'identita
| REGOLE | = |
|---|---|
| Leibniz1 | c=c' ψc ---- ψc' |
| Leibniz2 | c=c' ψc´ ---- ψc
|
| Leibniz3 | ψc ¬ψc´ ---- c≠c´ |
| Leibniz4 | ¬ψc ψc´ ---- c≠c´ |
| Riflessiva dell'identita (Refl =) | ---- c=c' |
| Simmetrica dell'identita (Sim =) | c = c´ ---- c´= c |
| Transitiva dell'identita (Tr =) | c=c' c´=c´´ ---- c = c´´ |
| Indiscernibilita (Indescer) | c=c' ---- ψc↔ψc´ |
| Euclide | c=c' ---- fc=fc´ |
Regole di definizione
| REGOLE | Connettivo 1 | Connettivo 2 |
|---|---|---|
| DM ^/v v/v | ¬(α ∧ β) ---- ¬α ∨ ¬ β |
¬(α ∨ β) ---- ¬α ∧ ¬ β |
| Definizione ^/v v/^ | α ∧ β ---- ¬(¬α ∨ ¬ β) |
α ∨ β ---- ¬(¬α ∧ ¬ β) |
| Definizione ^/→ v/→ | α ∧ β ---- ¬(α → ¬ β) |
α ∨ β ---- ¬α → β |
| Definizione ∃/∀ ∀/∃ | ∀vα ---- ¬∃v¬α |
∃vα ---- ¬∀v¬α |
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