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Problemi di logica matematica risolti per esercitare l'ingegno
(0) Problemi di logica matematica che devi dimostrare mediante qualche metodo logico
[0.1] Roque, un barbiere di Batuecas, rade tutti gli abitanti che non si radono da soli e solo loro. Perche questo e impossibile?
RISPOSTA INTUITIVA:
Supponiamo che Roque si rada da solo: in quel caso, dato che e abitante di Batuecas, non dovrebbe radersi da solo. Ma la verita e che si rade.
Ora, supponiamo che Roque non si rada da solo: Ebbene, in quel caso Roque si rade da solo per quella stessa ragione.
RISPOSTA MATEMATICA:
Questo dimostra che queste premesse portano a una contraddizione, cioe che Roque si rade e non si rade da solo. Dato che queste due premesse ci portano a una contraddizione, possiamo affermare che entrambe le premesse sono inconsistenti. Impossibile!
[0.2] Un giornalista intervista un anziano centenario e questi gli rivela il segreto della sua longevita: "Se non bevo birra, allora mangio pesce" e "Non mangio pesce, se prendo gelato o non bevo birra". E possibile seguire un regime cosi? Qual e l'ingrediente segreto?
Formalizzazione:
"Se non bevo birra, allora mangio pesce" = ¬p → q
"Non mangio pesce, se prendo gelato o non bevo birra" = r ∨ ¬p → ¬q
Tre alternative nella sua dieta:
1. Birra e niente gelato.
2. Birra e niente pesce
3. Birra, pesce e niente gelato.
L'ingrediente della longevita e la birra!
[0.3] Al logico Caferino chiesero: Ami Queta, Petra o Rosana? Lui penso: "Amo almeno una delle tre. Se amo Petra, ma non Queta, allora amo Rosana. O amo Queta o Rosana, oppure non amo nessuna delle tre. Se amo Queta, amo anche Petra." Chi ama il logico Caferino?
Formalizzazione:
1. p ∨ q ∨ r (Amo almeno una delle tre)
2. (p ∧ ¬q → r) (Se amo Petra, ma non Queta, allora amo Rosana)
3. [(q ∨ r) ∧ ¬(q∧r)) ∨ ¬(p ∨ q ∨ r)] (O amo Queta o Rosana, oppure non amo nessuna)
4. q → p (Se amo Queta, amo anche Petra)
Tre soluzioni:
1. Ama Petra e Queta, ma non Rosana.
2. Ama Petra e Rosana, ma non Queta.
3. Ama solo Rosana.
[0.4] Una cappelliera contiene 5 cappelli (3 bianchi e 2 neri). 3 logici si bendano gli occhi e si mettono un cappello. Il primo dice "Non so di che colore e il mio cappello". Il secondo dice "Nemmeno io". Il terzo, senza togliersi la benda, afferma "Il mio e bianco". Come lo ha dedotto?
Se A lo sa, allora B e C ce l'hanno nero. Quindi, se non lo sanno, almeno uno ce l'ha bianco.
Cio significa che se C ce l'ha nero, allora B ce l'ha bianco. B lo sa.
B guardando C non lo sa. Se B lo sapesse, allora C ce l'avrebbe avuto nero.
C sa che A e B non lo sanno, quindi sa che il suo e bianco.
(1) Problemi di logica matematica mediante tabelle di verita
[1.1] Un consulente d'immagine deve consigliare una cliente sugli accessori per un matrimonio. Ha: orecchini blu, collana di perle, braccialetto nero, orecchini rossi, cintura marrone, collana rossa. Vuole indossare esattamente 2 complementi. (a) Quante combinazioni senza restrizioni? (b) Combinazioni con uno rosso e uno nero? (c) Combinazioni con massimo 2? (d) Combinazioni con rossi e altri, solo 2 accessori?
a=orecchini blu, b=collana di perle, c=braccialetto nero, d=orecchini rossi, f=cintura marrone, g=collana rossa
(1) 2 elevato alla 6 = 64 opzioni per combinare i suoi complementi.
(2) Due accessori: uno rosso e uno nero; e al massimo due complementi.
Soluzione: (d ∧ c) ∨ (g ∧ c) = (d ∨ g) ∧ c
(3) 15 combinazioni possibili.
(4) 20 combinazioni possibili.
[1.2] Un hacker deve determinare quattro valori booleani (1 o 0) per superare un sistema di sicurezza. Ha deciso di applicare la forza bruta. Potresti rappresentare in una tabella di verita tutte le possibili combinazioni?
Essendo 4 valori booleani (p, q, r, s), il numero totale di combinazioni possibili e:
2^4 = 16 combinazioni possibili
Si puo rappresentare in una tabella di verita con 16 righe, una per ogni combinazione di valori 0 e 1 per le quattro variabili.
[1.3] Un coreografo elenca i modi in cui un ballerino puo sostenere una ballerina: schiena, braccio sinistro, braccio destro, collo o gamba sinistra. (a) Senza limitazione fisica, quante combinazioni? (b) Solo 2 punti, con restrizioni: non entrambe le braccia, e se collo deve sostenerla da un altro punto.
(a) Senza limitazione fisica: 2^5 = 32 combinazioni possibili (5 parti del corpo)
(b) Puo sostenerla solo da due punti alla volta:
Combinazioni di 5 elementi presi 2 a 2 = C(5,2) = 10 combinazioni
Con le restrizioni aggiuntive:
- Se la prende da un braccio, non sostenerla con l'altro braccio
- Se la sostiene dal collo, deve sostenerla da qualche altro punto
Le combinazioni si riducono eliminando quelle che violano queste regole.
[1.4] A una fermata dell'autobus non ricordiamo quale ci porta a casa. Operano solo le linee 34, 43, 23. La 34 non si collega con nessuna linea ne fa trasbordo, ma ricordi che l'ultima volta hai fatto trasbordo. Quante possibilita logiche esistono di perderti?
Variabili: p=linea 34, q=linea 43, r=linea 23
Restrizione: La 34 non si collega con nessuna linea ne fa trasbordo.
Ricordiamo che l'ultima volta abbiamo fatto trasbordo, quindi la 34 non e quella corretta.
Con queste informazioni, le possibilita di perdersi dipendono dalla scelta tra 43 o 23.
Possibilita logiche di perdersi: 2 opzioni possibili (scegliere 43 o 23 in modo errato)
[1.5] In un esame di guida: "Si considera conducente la persona... (a) Che guida un ciclomotore a due ruote. (b) Che maneggia un volante quando circola in prova. (c) Che maneggia il meccanismo di direzione o e al comando del veicolo." Quale ha piu interpretazioni vere?
Analizzando ogni opzione:
a) "Guida un ciclomotore a due ruote" - condizione specifica
b) "Maneggia un volante di un veicolo quando circola in prova" - condizione specifica
c) "Maneggia il meccanismo di direzione o e al comando del veicolo" - condizione disgiuntiva
L'opzione c) ha piu interpretazioni vere perche e una disgiunzione (v), che e vera quando almeno una delle due parti e vera.
In una tabella di verita, la disgiunzione ha 3 casi veri su 4 possibili, mentre le altre opzioni sono piu restrittive.