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(1) Esegui la seguente formalizzazione di queste proposizioni composte dal linguaggio naturale in logica proposizionale:
[1] Piove e fa freddo.
p ∧ q
[2] Non piove e fa freddo.
¬p ∧ q
[3] Piove o fa freddo.
p ∨ q
[4] O piove, oppure fa freddo.
(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
[5] Piove e fa freddo, oppure nevica.
(p ∧ q) ∨ r
[6] Non e vero che piova e faccia freddo.
¬(p ∧ q)
[7] Non e vero che non piova e non faccia freddo.
¬(¬p ∧ ¬q)
[8] Se piove, fa freddo.
p → q
[9] Se piove, allora se fa freddo, nevichera.
p → (q → r)
[10] Non e vero che se piove e nevica o fa freddo, debba fare freddo.
¬[(p ∧ r) ∨ q → q]
(2) Esegui la formalizzazione di queste proposizioni composte dal linguaggio naturale in logica proposizionale:
[11] E biondo e ha gli occhi azzurri oppure e alto.
(p ∧ q) ∨ r
[12] Non e vero che sia biondo e abbia gli occhi azzurri.
¬(p ∧ q)
[13] Non e biondo e non ha gli occhi azzurri.
¬p ∧ ¬q
[14] Quando piove la terra si bagna.
p → q
[15] Se il cane abbaia di nuovo, lo mordo.
p → q
[16] Continua ad agitare il bicchiere e l'acqua si rovescera.
p → q
[17] Mangia e taci.
p ∧ q
[18] C'erano pezzi di metallo, giornali, resti di cibo.
p ∧ q ∧ r
[19] La luna e indifferente ai nostri versi, se non lo fosse se ne sarebbe andata molto tempo fa.
p ∧ (¬p → q)
[20] Che piova non implica che la terra si bagni.
¬(p → q)
[21] Quando piove la terra si bagna, ma non e vero che si bagni solo quando piove.
(p → q) ∧ ¬(q → p)
[22] Se mangio molto, ingrasso. E se ingrasso mi sento male.
p → q, q → r
[23] Se studio, mi viene sonno. Se mi viene sonno, dormo. Se dormo, mi alzo nervoso per non aver studiato. Se mi alzo nervoso per non aver studiato, allora studio. Quindi, mi viene sonno.
Variabili:
p = Studio
q = Mi viene sonno
r = Dormo
s = Mi alzo nervoso
Formalizzazione:
p → q, q → r, r → (¬p ∧ s), (¬p ∧ s) → p ⊦ q
[24] Se il re dell'Argentina e calvo, allora c'e un re dell'Argentina. Se il re dell'Argentina non e calvo, allora c'e un re dell'Argentina. Non c'e un re dell'Argentina. Pertanto, il re dell'Argentina e calvo se e solo se il re dell'Argentina non e calvo.
p → q, ¬p → q, ¬q ⊦ p ↔ ¬p
[25] Se il male esiste nel mondo e non ha origine nelle azioni degli esseri umani, allora Dio non puo o non vuole impedirlo. Il male esiste nel mondo. Se Dio non puo impedire che ci sia il male in questo mondo, allora non e onnipotente. Se Dio non vuole impedire l'esistenza del male, allora non e buono. Ma Dio e onnipotente e buono. Pertanto, il male che esiste in questo mondo ha origine nelle azioni dell'essere umano.
p ∧ ¬q → (¬r ∨ ¬s), p, ¬r → ¬t, ¬s → ¬w, t ∧ w ⊦ q
(3) Formalizza le seguenti frasi ipotetiche in modo corretto secondo la logica proposizionale:
[26] Se vuoi un cane, allora devi avere tempo.
p → q
[27] Solo se non indossi scarpe da ginnastica, potrai entrare in discoteca.
q → ¬p
"Solo se" indica che la condizione e necessaria, non sufficiente.
[28] Puoi venire a casa mia quando vuoi.
p → q
"Quando" equivale a "se".
[29] E sufficiente prendere un 5 per entrare all'universita.
p → q
"E sufficiente" indica condizione sufficiente.
[30] E necessario presentarsi all'esame per entrare all'universita.
q → p
"E necessario" indica condizione necessaria.
[31] Per avere amici, devi avere salute, denaro, fama e carisma.
p → (q ∧ r ∧ s ∧ t)
[32] A meno che tu non impedisca l'omicidio, l'agente raggiungera il suo scopo.
¬p → q
"A meno che" equivale a "se non".
[33] A meno che non compri molto cibo, presto finira.
¬p → q
"A meno che" equivale a "se non".
[34] Raggiungerai il successo solo se hai i voti migliori.
p → q
[35] Quando supererai l'esame, tutto sara meraviglioso.
p → q
[36] Adriano e professore di logica unicamente e esclusivamente se ha una laurea.
p ↔ q
"Unicamente e esclusivamente se" indica bicondizionale.
[37] Nel caso in cui ti piacciano gli esercizi, assumerai il professore.
p → q
[38] Basta che arrivi Giovanni per rovinare la festa.
p → q
"Basta che" indica condizione sufficiente.
[39] E indispensabile la compagnia di Paolo affinche la serata sia completa.
q → p
"E indispensabile" indica condizione necessaria.
[40] Quando uno fa quello che puo, non e obbligato a fare di piu.
p → ¬q
(4) Formalizza i seguenti argomenti con disgiunzione mediante logica proposizionale:
[41] O ti compri una PlayStation o una Nintendo.
p ∨ q
Disgiunzione inclusiva.
[42] O passi o non passi l'esame.
(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
Disgiunzione esclusiva: non puoi passare e non passare allo stesso tempo.
[43] O e celibe, oppure non lo e.
p ∨ ¬p
Tautologia: principio del terzo escluso.
[44] Si cerca qualcuno che abbia padronanza dell'inglese o del tedesco.
p ∨ q
Disgiunzione inclusiva: puo conoscere entrambe le lingue.
[45] O e una proposizione analitica oppure una proposizione sintetica.
(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
Disgiunzione esclusiva: una proposizione non puo essere entrambe.
(5) Esegui la formalizzazione dei seguenti argomenti con logica dei predicati mediante quantificazione semplice:
[46] Tutti sono mortali. Quindi nessuno e immortale.
∀xMx ⊦ ¬∃x¬Mx
[47] I paesi del terzo mondo non sono industrializzati. Alcuni paesi del terzo mondo possiedono grandi ricchezze. Pertanto, ci sono paesi del terzo mondo che possiedono grandi ricchezze e non sono industrializzati.
∀x(Px ∧ Tx → ¬Ix), ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx) ⊦ ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx ∧ ¬Ix)
[48] Nessun atleta che aspiri a partecipare alle olimpiadi assume bevande alcoliche. Ci sono atleti che assumono bevande alcoliche. Pertanto, alcuni atleti non partecipano alle olimpiadi.
∀x(Dx ∧ Ax → ¬Ix), ∃x(Dx ∧ Ix) ⊦ ∃x(Dx ∧ ¬Ax)
[49] I medici e gli ingegneri sono professionisti. I professionisti e i dirigenti sono rispettati. Quindi, i medici sono rispettati.
∀x(Mx ∨ Ix → Px), ∀x(Px ∨ Dx → Rx) ⊦ ∀x(Mx → Rx)
[50] Esistono uomini intelligenti. Quindi, non e il caso che nessun uomo sia intelligente.
∃x(Hx ∧ Ix) ⊦ ¬∀x(Hx → ¬Ix)
[51] I filosofi e solo loro sono intelligenti. Pertanto, coloro che non sono filosofi non sono intelligenti.
¬∃x(¬Fx ∧ Ix) ⊦ ∀x(¬Fx → ¬Ix)
[52] Nessun essere perfetto e immorale. Qualsiasi individuo che non apprezzi l'onesta intellettuale e imperfetto. Nessun individuo morale che apprezzi l'onesta intellettuale puo condannare l'agnosticismo. Da cio consegue che se Dio e perfetto non puo condannare l'agnosticismo.
∀x(Px → Mx), ∀x(¬Hx → ¬Px), ∀x(Mx ∧ Hx → ¬Cx) ⊦ Pd → ¬Cd
[53] Le proposizioni matematiche sono necessarie. Solo le proposizioni sintetiche hanno contenuto. Non ci sono proposizioni sintetiche a priori. Ogni proposizione e o a priori o a posteriori. Pertanto, le proposizioni della matematica sono sintetiche a posteriori.
∀x(Mx → Nx), ¬∃x(¬Sx ∧ Cx), ¬∃x(Sx ∧ Ax), ∀x[Ax ∨ Bx ∧ ¬(Ax ∧ Bx)] ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Bx)
[54] Le proposizioni matematiche sono necessarie. Le proposizioni a posteriori non sono necessarie. Le proposizioni matematiche hanno contenuto. Solo le proposizioni che hanno contenuto sono sintetiche. Pertanto, le proposizioni matematiche sono sintetiche a priori.
∀x(Mx → Nx), ∀x(Bx → ¬Nx), ∀x(Mx → Cx), ¬∃x(¬Cx ∧ Sx) ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Ax)
(6) Esegui la formalizzazione dei seguenti argomenti con logica dei predicati mediante quantificazione multipla:
[55] Se Watson puo catturare Moriarty, Holmes puo. Holmes non puo. Pertanto, nemmeno Watson.
Awm → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬Awm
[56] Solo Holmes puo catturare Moriarty. Holmes non puo. Quindi, nessuno puo.
∀x(Axm → Ahm), ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)
[57] Se qualcuno puo catturare Moriarty, allora Holmes puo. Holmes non puo. Quindi non esiste nessuno che possa catturarlo.
∃x(Axm) → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)
[58] Tutti sono in relazione con tutti. Pertanto, tutti sono in relazione con se stessi.
∀x∀y(Rxy) ⊦ ∀x(Rxx)
[59] Ogni ragazzo e piu giovane di suo padre. Carlo e un ragazzo che non e piu giovane di Luigi. Chiunque sia sposato con Maria e il padre di Carlo. Pertanto, Luigi non e sposato con Maria.
∀x(Cx → Jxf(x)), Cc ∧ ¬Jcl, ∀x(Mxm → x = f(c)) ⊦ ¬Mlm
[60] Ogni empirista ammira Hume. Alcuni idealisti non stimano nessuno che ammiri Hume. Di conseguenza, alcuni idealisti non stimano nessun empirista.
∀x(Ex → Axh), ∃x(Ix ∧ ∀y(Ayh → ¬Exy)) ⊦ ∃x(Ix ∧ ∀y(Ey → ¬Exy))
[61] C'e un uomo che tutti gli uomini ammirano. Pertanto, c'e almeno un uomo che ammira se stesso.
∃x(Hx ∧ ∀y(Hy → Ayx)) ⊦ ∃x(Hx ∧ Axx)
[62] I colonnelli comandano i sergenti e i sergenti comandano i soldati. Chiunque sia comandato da un altro riceve ordini da lui. Chiunque comandi uno che a sua volta comanda un terzo, comanda quel terzo. P e Colonnello, H e Sergente e B e soldato. Pertanto, B riceve ordini da P.
∀x∀y(Cx ∧ Sy → Mxy), ∀x∀y(Sx ∧ Dy → Mxy), ∀x∀y(Mxy → Ryx), ∀x∀y∀z(Mxy ∧ Myz → Mxz), Cp, Sh, Db ⊦ Rbp
[63] E un delinquente chi vende una pistola che non e registrata. Tutte le armi che possiede Giovanni sono state comprate da lui nel negozio di Luigi o in quello di Giuseppe. Quindi, se una delle armi di Giovanni e una pistola che non e registrata, allora, se Giovanni non ha mai comprato nulla nel negozio di Giuseppe, Luigi e un delinquente.
∀x∀y(Vxy ∧ Py ∧ ¬Ry → Dx), ∀x(Ajx → Cxl ∨ Cxj) ⊦ ∃x(Ajx ∧ Px ∧ ¬Rx) → (¬∃x(Cxj) → Dl)
[64] Chiunque legga Freud lo interpretera erroneamente a meno che non abbia formazione psichiatrica. Chiunque legga Freud e lo interpreti erroneamente contribuisce alla propria malattia mentale. Una persona immatura e incapace di interpretare correttamente Freud. Non tutti quelli che leggono Freud e hanno formazione psichiatrica sono persone mature. Pertanto, ci sono persone con formazione psichiatrica che contribuiscono alla propria malattia mentale.
∀x(Lxf ∧ ¬Px → Ix), ∀x(Lxf ∧ Ix → Cx), ∀x(¬Mx → Ix), ¬∀x(Lxf ∧ Px → Mx) ⊦ ∃x(Px ∧ Cx)
(7) Esegui la formalizzazione di queste proposizioni composte con logica dei predicati con funtori e identita:
[65] Il padre di Pietro e Luigi.
f(p) = l
Dove f(x) = "il padre di x"
[66] Il padre di Pietro e arbitro di calcio.
Af(p)
Dove f(x) = "il padre di x", A = "e arbitro di calcio"
[67] La somma di due e tre e un numero primo.
Ps(2,3)
Dove s(x,y) = "la somma di x e y", P = "e numero primo"
[68] Ci sono almeno due numeri naturali la cui somma e uguale a sei.
∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,y) = 6)
[69] Ci sono almeno due numeri naturali tali che la loro somma con se stessi e uguale al loro prodotto con se stessi.
∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,x) = p(x,x) ∧ s(y,y) = p(y,y))
[70] Per ogni numero naturale, il prodotto di quel numero per se stesso e uguale al quadrato di quel numero.
∀x(Nx → p(x,x) = c(x))
Dove p(x,y) = "prodotto di x e y", c(x) = "quadrato di x"
[71] Il quadrato di tre e pari.
Pc(3)
Dove c(x) = "quadrato di x", P = "e pari"
[72] Il prodotto di tre per quattro e multiplo di due.
Mp(3,4)2
Dove M = "e multiplo di"
[73] Il prodotto di due per qualsiasi numero naturale e pari.
∀x(Nx → Pp(2,x))
[74] Non e vero che il tre sia divisore del cubo di ogni numero naturale dispari.
¬∀x(Nx ∧ Ix → D3cb(x))
Dove cb(x) = "cubo di x", D = "e divisore di", I = "e dispari"
(8) Esegui la formalizzazione delle proposizioni composte che seguono con logica dei predicati con funtori, descrittori e identita:
[75] Il cubo di due e uguale al prodotto di due per quattro.
cb(2) = p(2,4)
[76] Esistono due numeri naturali tali che il loro prodotto e uguale a cinque.
∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ p(x,y) = 5)
[77] Non esistono due numeri naturali tali che il loro prodotto sia uguale a cinque.
¬∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ p(x,y) = 5)
[78] Esiste un numero naturale il cui quadrato e il cubo di quattro.
∃x(Nx ∧ c(x) = cb(4))
[79] Esiste un numero naturale il cui cubo e divisore di qualsiasi numero naturale dispari.
∃x(Nx ∧ ∀y(Ny ∧ Iy → Dcb(x)y))
[80] L'autore del Capitale e Marx.
ιx(Axc) = m
Dove ι e il descrittore definito
[81] Lo scrittore della Repubblica e Platone.
ιx(Exr) = p
[82] L'autore dell'Alchimista e scrittore.
Eιx(Axa)
[83] Il professore di logica della facolta di scienze di Saragozza ha studiato filosofia.
Fιx(Pxlz)
Dove P = "e professore di logica in", F = "ha studiato filosofia"
[84] Il direttore di Adriano e un eccellente ricercatore.
Iιx(Dxa)
Dove D = "e direttore di", I = "e eccellente ricercatore"
(9) Esegui la seguente formalizzazione delle proposizioni composte che seguono con logica dei predicati con quantificazione numerica:
[85] C'e almeno un Dio.
∃xDx
[86] Ci sono almeno due Dei.
∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)
[87] C'e al massimo un Dio.
∀x∀y(Dx ∧ Dy → x = y)
O equivalentemente: ¬∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)
[88] Ci sono al massimo due Dei.
∀x∀y∀z(Dx ∧ Dy ∧ Dz → x = y ∨ x = z ∨ y = z)
[89] C'e esattamente un Dio.
∃x(Dx ∧ ∀y(Dy → x = y))
Almeno uno e al massimo uno.
[90] Ci sono esattamente due Dei.
∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y ∧ ∀z(Dz → z = x ∨ z = y))
[91] Qualche filosofo addomestica esattamente una tigre.
∃x(Fx ∧ ∃y(Ty ∧ Dxy ∧ ∀z(Tz ∧ Dxz → z = y)))
[92] Una tigre e addomesticata da esattamente un filosofo.
∃x(Tx ∧ ∃y(Fy ∧ Dyx ∧ ∀z(Fz ∧ Dzx → z = y)))
[93] Almeno due guardalinee che usano al massimo una bandierina.
∃x∃y(Jx ∧ Jy ∧ x ≠ y ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uxz ∧ Uxw → z = w) ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uyz ∧ Uyw → z = w))
[94] Esattamente due guardalinee usano esattamente la stessa bandierina.
∃x∃y∃z(Jx ∧ Jy ∧ Bz ∧ x ≠ y ∧ Uxz ∧ Uyz ∧ ∀w(Jw ∧ Uwz → w = x ∨ w = y))
(10) Esegui la formalizzazione dei seguenti argomenti con logica dei predicati:
[95] Un eccentrico professore di un'universita fisso i suoi orari di ricevimento dalle 6 alle 7 del mattino, con il seguente ragionamento: "Gli studenti che hanno bisogno di parlare con me verranno nel mio ufficio anche a quell'ora, ma quelli che non ne hanno bisogno non verranno. Quindi, uno studente verra nel mio ufficio se e solo se ha bisogno di parlare con me."
∀x(Ex ∧ Nxa → Dxa), ∀x(Ex ∧ ¬Nxa → ¬Dxa) ⊦ ∀x(Ex → (Dxa ↔ Nxa))
[96] Quando, nel suo viaggio nel paese delle meraviglie, Alice si rivolge al gatto, che improvvisamente e apparso in cima a un albero, e gli chiede una direzione, il gatto le dice: "Qui siamo tutti matti: tu sei matta, io sono matto." "Come sai che sei matto?" rispose Alice. "Per cominciare -disse il gatto- un cane non e matto. Sei d'accordo?... Bene, allora -continuo il gatto- un cane ringhia quando e arrabbiato, e muove la coda quando e contento. Ora, io ringhio quando sono contento e muovo la coda quando sono arrabbiato. Pertanto, io sono matto."
Variabili:
Px = x e cane, Lx = x e matto, Gx = x ringhia, Mx = x muove la coda, Ex = x e arrabbiato, Cx = x e contento, g = il gatto
Formalizzazione:
∀x(Px → ¬Lx), ∀x(Px ∧ Ex → Gx), ∀x(Px ∧ Cx → Mx), Cg → Gg, Eg → Mg ⊦ Lg
[97] Esiste un'isola popolata esclusivamente da "cavalieri" e "scudieri". L'unica cosa che distingue gli uni dagli altri e che i primi dicono sempre la verita e i secondi mentono sempre. In un'occasione in cui tre degli abitanti -A, B, C- si incontrarono in giardino, uno straniero che passava di li chiese ad A "Sei cavaliere o scudiero?" A rispose ma cosi confusamente che non si riusci a capire cosa dicesse. Allora lo straniero chiese a B "Cosa ha detto?" e B rispose che "A ha detto che e scudiero". Ma all'istante il terzo uomo C replico: "Non credere a B, sta mentendo."
Analisi:
- Se A e cavaliere, dice la verita, quindi direbbe "sono cavaliere".
- Se A e scudiero, mente, quindi anche lui direbbe "sono cavaliere".
- Pertanto, A disse "sono cavaliere".
- B dice che A disse "sono scudiero", il che e falso. Quindi B e scudiero.
- C dice che B mente, il che e vero. Quindi C e cavaliere.
Conclusione: B e scudiero, C e cavaliere. Non si puo determinare cosa sia A.
[98] Durante la presentazione del fascicolo relativo a un importante furto avvenuto a Londra, l'ispettore Craig chiese al suo assistente, il sergente McPherson: "Cosa farebbe lei con questi fatti?": (1) Se A e colpevole e B innocente, allora C e colpevole. (2) C non lavora mai da solo. (3) A non lavora mai con C. (4) Nessuno diverso da A, B, C era coinvolto, e almeno uno di loro e colpevole.
Formalizzazione:
1. (Ca ∧ ¬Cb) → Cc
2. Cc → (Ca ∨ Cb)
3. ¬(Ca ∧ Cc)
4. Ca ∨ Cb ∨ Cc
Analisi:
Da (3): Se C e colpevole, A e innocente.
Da (2): Se C e colpevole, A o B e colpevole. Con (3), B deve essere colpevole.
Da (1): Se A colpevole e B innocente → C colpevole. Con (3), questo forza: se A colpevole, B colpevole.
Conclusione: B e colpevole. A puo o non puo essere colpevole. Se A e colpevole, anche B lo e.
[99] Il Sig. McGregor, un commerciante londinese, telefono a Scotland Yard per dire che il suo negozio era stato derubato. Furono arrestati tre sospetti -A, B, C- per essere interrogati e furono stabiliti i seguenti fatti: (1) Ognuno dei tre uomini era stato nel negozio il giorno del furto, e nessun altro era stato nel negozio. (2) Se A era colpevole, allora aveva un complice, e solo uno. (3) Se B era innocente, anche C lo era. (4) Se due e solo due sono colpevoli, allora A e uno di loro. (5) Se C e innocente, anche B lo e. Chi ha incriminato l'ispettore Craig?
Formalizzazione:
1. Tutti erano nel negozio, nessun altro coinvolto.
2. Ca → [(Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Cc ∧ ¬Cb)]
3. ¬Cb → ¬Cc
4. [(Ca ∧ Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Ca ∧ ¬Cb ∧ Cc) ∨ (¬Ca ∧ Cb ∧ Cc)] → Ca
5. ¬Cc → ¬Cb
Analisi:
Da (3) e (5): B e innocente ↔ C e innocente. Sono entrambi colpevoli o entrambi innocenti.
Da (2): Se A e colpevole, ha esattamente un complice. Ma B e C vanno insieme.
Pertanto: A e innocente. B e C sono colpevoli.
Conclusione: L'ispettore Craig ha incriminato B e C.