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Esercizi risolti di teoria degli insiemi
(1) Definisci per intensione (per descrizione o comprensione) i seguenti insiemi definiti per estensione (o per enumerazione):
[Esercizio 1] P={Huelva, Sevilla, Córdoba, jaén, Cádiz, Málaga, Granada, Cordoba}
P= {x/ x è una provincia dell'Andalusia}
[Esercizio 2] P={ Antioquia, Bolívar, Boyocá, Caldas, Cauca, Choco, Cundinamarca, Huila, La Guajira, Meta, Niriño, Norte de Santander, Santander, Sucre, Tolima, Valle del Cauca }
P= {x/ x è un dipartimento della Colombia}
[Esercizio 3] P={1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
P= {x/ x ∈ ℕ} (x è un numero naturale)
[Esercizio 4] P={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
P= {x/ x ∈ ℤ} (x è un numero intero)
[Esercizio 5] P={Teoria degli insiemi, Teoria dei modelli, Teoria della dimostrazione, Teoria della computabilità...}
P= {x/ x è un ramo della logica matematica}
[Esercizio 6] P={ <Julio Iglesias de la Cueva, Enrrique iglesias>, <Julio Iglesias de la cueva, Julio Jose Iglesias>}
P= {<x,y> ∈ CxC/ y è figlio del cantante x} Essendo C={x/x è un cantante}
[Esercizio 7] P={5, 10, 15, 20...}
P= {x/ x è un multiplo di 5}
[Esercizio 8] P= {...<1,-1>, <2, -2> <3, -3>, <4, -4>, <5, -5>...}
P= {<x,y> ∈ ℤxℤ/ y = -x}
[Esercizio 9] P={<Luis Guitierrez Alvarez, 76849912A>, <Adrián Gómez Lerin, 48593254Z>, <Antonio Banderas Rodillo, 65749934H}
P= {<x,y> ∈ HxD/ y è il documento d'identità di x} Essendo H=persone e D=numeri di documento
[Esercizio 10] P={<1,1>, <2,4>, <3, 9>, <4,16>, <5,25>...}
P= {<x,y> ∈ ℕxℕ/ y = x²}
(2) Definisci per estensione i seguenti insiemi definiti per intensione:
[Esercizio 11] P={x ∈ H/ x fa parte del gruppo Jackson Five}
P= {Michael Jackson, Jackie Jackson, Tito Jackson, Jermaine Jackson, Marlon Jackson}
[Esercizio 12] P={x/x è un membro dei Beatles}
P= {John Lennon, Paul McCartney, George Harrison, Ringo Starr}
[Esercizio 13] P= {x/ x² - 4=0}
x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2
P= {2, -2}
[Esercizio 14] P={x/ x² - 48x + 578 = 0}
Usando la formula quadratica: x = (48 ± √(2304-2312))/2
Poiché il discriminante è negativo, P= Ø (insieme vuoto)
[Esercizio 15] P={x / x è uno dei libri di Harry Potter}
P= {Harry Potter e la pietra filosofale, Harry Potter e la camera dei segreti, Harry Potter e il prigioniero di Azkaban, Harry Potter e il calice di fuoco, Harry Potter e l'Ordine della Fenice, Harry Potter e il principe mezzosangue, Harry Potter e i Doni della Morte}
[Esercizio 16] P={x/x è un biotipo}
P= {Ectomorfo, Mesomorfo, Endomorfo}
[Esercizio 17] P={<x,y> ∈ N x N/ y= x+1}
P= {<1,2>, <2,3>, <3,4>, <4,5>, <5,6>...}
[Esercizio 18] P={<x,y> ∈ NxN/ x+y=170}
P= {<1,169>, <2,168>, <3,167>, ... <85,85>, ... <169,1>}
[Esercizio 19] P={<x,y> ∈ SxA/ y è il codice ASCII di x} Essendo S un simbolo informatico e A un numero ASCII.
P= {<NULL,0>, <SOH,1>, <STX,2>, <ETX,3>, ... <A,65>, <B,66>, ... <a,97>...}
[Esercizio 20] P={<x,y> ∈ NxR/ x è il numero corrispondente a y} Essendo N i numeri naturali e R i numeri espressi nel sistema di numerazione romano.
P= {<1,I>, <2,II>, <3,III>, <4,IV>, <5,V>, <6,VI>, <7,VII>, <8,VIII>, <9,IX>, <10,X>...}
(3) Esegui le seguenti operazioni tra insiemi e rappresentale graficamente mediante diagrammi di Venn:
Essendo A= {0,1,2}, B={0,1,{2}} C={4,5} rappresenta e calcola le seguenti operazioni:
[Esercizio 21] A ∩ B
A ∩ B = {0, 1}
Gli elementi comuni ad A e B sono 0 e 1. Nota: {2} ∈ B ma 2 ∈ A, sono diversi.
[Esercizio 22] A ∪ B
A ∪ B = {0, 1, 2, {2}}
L'unione include tutti gli elementi di entrambi gli insiemi.
[Esercizio 23] A - C
A - C = {0, 1, 2}
Poiché A e C sono disgiunti (non hanno elementi in comune), A - C = A
[Esercizio 24] A ∪ B ∪ C
A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, {2}, 4, 5}
[Esercizio 25] A ∩ (B ∪ C)
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}
[Esercizio 26] (B ∪ C) - (A ∩ B)
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ B = {0, 1}
(B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}
[Esercizio 27] P(A) ∩ B
P(A) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}
P(A) ∩ B = {{2}}
L'unico elemento che appartiene sia a P(A) che a B è {2}
[Esercizio 28] A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)
B ∩ C = Ø
A ∪ (B ∩ C) = A ∪ Ø = {0, 1, 2}
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}
A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2} - {0, 1} = {2}
[Esercizio 29] A ∩ A - A ∪ A
A ∩ A = A = {0, 1, 2}
A ∪ A = A = {0, 1, 2}
A - A = Ø
[Esercizio 30] [A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C) - (A ∩ B)]
Dall'esercizio 28: A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {2}
Dall'esercizio 26: (B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}
{2} - {{2}, 4, 5} = {2}
Nota: {2} ≠ 2, quindi 2 non appartiene al secondo insieme.
(4) Risolvi la validità dei seguenti argomenti mediante diagrammi di Venn:
[Esercizio 31] "Nessun empirista è razionalista. I positivisti sono empiristi. Pertanto, nessun positivista è razionalista."
Insiemi: E={x/x è Empirista}, R={x/x è razionalista}, P={x/x è positivista}
Formalizzazione:
1. E ∩ R = Ø (Nessun empirista è razionalista)
2. P ⊆ E (I positivisti sono empiristi)
Conclusione: P ∩ R = Ø
L'argomento è VALIDO. Se P ⊆ E e E ∩ R = Ø, allora necessariamente P ∩ R = Ø.
[Esercizio 32] "Alcuni matematici sono rigorosi. Alcuni matematici sbagliano nei calcoli. Tutti i matematici che sbagliano nei calcoli non sono rigorosi. Pertanto, tutti i matematici rigorosi non sbagliano nei calcoli."
Insiemi: M={x/x è un matematico}, R={x/x è rigoroso}, F={x/x sbaglia nei calcoli}
Formalizzazione:
1. M ∩ R ≠ Ø
2. M ∩ F ≠ Ø
3. (M ∩ F) ∩ R = Ø
Conclusione: (M ∩ R) ∩ F = Ø
L'argomento è VALIDO. La premessa 3 stabilisce che chi sbaglia non è rigoroso, il che equivale a dire che i rigorosi non sbagliano.
[Esercizio 33] "Ci sono credenti agnostici e credenti non agnostici. Nessun ateo è credente. Tutti gli agnostici sono atei. Pertanto, qualche ateo non è né credente né agnostico."
Insiemi: C={x/x è credente}, G={x/x è agnostico}, A={x/x è ateo}
Formalizzazione:
1. C ∩ G ≠ Ø (Ci sono credenti agnostici)
2. C - G ≠ Ø (Ci sono credenti non agnostici)
3. A ∩ C = Ø (Nessun ateo è credente)
4. G ⊆ A (Tutti gli agnostici sono atei)
Problema: Le premesse 1 e 4 insieme implicano C ∩ A ≠ Ø, ma la premessa 3 afferma A ∩ C = Ø.
Le premesse sono INCONSISTENTI.
[Esercizio 34] "Tutti i ballerini sono egocentrici. Alcuni egocentrici amano essere guardati, mentre altri no. A quelli a cui piace sono ballerini e anche a quelli a cui non piace. Pertanto, tutti gli egocentrici sono ballerini."
Insiemi: B={x/x è un ballerino}, E={x/x è egocentrico}, G={x/a x piace essere guardato}
Formalizzazione:
1. B ⊆ E (Tutti i ballerini sono egocentrici)
2. E ∩ G ≠ Ø e E - G ≠ Ø (Alcuni egocentrici amano, altri no)
3. (E ∩ G) ⊆ B e (E - G) ⊆ B
Da 3: E ⊆ B
Conclusione: E ⊆ B (Tutti gli egocentrici sono ballerini)
L'argomento è VALIDO.
[Esercizio 35] "I filosofi sono amanti della saggezza. Alcuni amanti della saggezza perseguono il bene. Pertanto, alcuni filosofi perseguono il bene."
Insiemi: F={x/x è un filosofo}, A={x/x è un amante della saggezza}, P={x/x persegue il bene}
Formalizzazione:
1. F ⊆ A (I filosofi sono amanti della saggezza)
2. A ∩ P ≠ Ø (Alcuni amanti perseguono il bene)
Conclusione: F ∩ P ≠ Ø
L'argomento NON è valido. Che alcuni amanti della saggezza perseguano il bene non garantisce che questi siano i filosofi. Potrebbero esserci amanti della saggezza che perseguono il bene ma non sono filosofi.
(5) Semplifica i seguenti insiemi:
La lettera "c" indica che si tratta del complementare.
[Esercizio 36] (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)
(A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)
= A ∩ (B ∩ Bᶜ) [Associativa]
= A ∩ Ø [B ∩ Bᶜ = Ø]
= Ø
[Esercizio 37] (Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A
(Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A
= (A ∪ Bᶜ) ∪ (Bᶜ ∩ A) ∪ A [De Morgan]
= (A ∪ Bᶜ) ∪ A [Assorbimento: (Bᶜ ∩ A) ⊆ A]
= A ∪ Bᶜ [Assorbimento: A ⊆ (A ∪ Bᶜ)]
= A ∪ Bᶜ
[Esercizio 38] (A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)
(A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)
= (A ∩ Aᶜ) ∩ (Bᶜ ∩ B) [Commutativa e Associativa]
= Ø ∩ Ø
= Ø
[Esercizio 39] (A ∪ A) - (A ∩ B)
(A ∪ A) - (A ∩ B)
= A - (A ∩ B) [Idempotenza: A ∪ A = A]
= A ∩ (A ∩ B)ᶜ [Definizione di differenza]
= A ∩ (Aᶜ ∪ Bᶜ) [De Morgan]
= (A ∩ Aᶜ) ∪ (A ∩ Bᶜ) [Distributiva]
= Ø ∪ (A ∩ Bᶜ)
= A ∩ Bᶜ (oppure A - B)
[Esercizio 40] (A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)
(A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)ᶜ [De Morgan: Bᶜ ∪ Aᶜ = (A ∩ B)ᶜ]
= U (Universo)
(6) Esegui le seguenti operazioni mediante la cardinalità dei seguenti insiemi:
Essendo #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 esegui le seguenti operazioni.
[Esercizio 41] Se A e B sono disgiunti, #(A ∪ B)
Se A ∩ B = Ø (disgiunti):
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∪ B) = 2 + 5 - 0 = 7
[Esercizio 42] Se C è disgiunto da (A ∩ B) e A={a,b} e B={b, c, d, f, g}, qual è la cardinalità di #((A ∩ B) ∪ C)?
A ∩ B = {b}, quindi #(A ∩ B) = 1
Poiché C è disgiunto da (A ∩ B):
#((A ∩ B) ∪ C) = #(A ∩ B) + #(C) = 1 + 20 = 21
[Esercizio 43] Se A={a,b}, B={b, c, d, f, g} e C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, r, s, t, v} qual è la cardinalità di #((B ∩ C) ∪ A)?
B ∩ C = {b, c, d, f, g} (B ⊂ C), #(B ∩ C) = 5
A = {a, b}
(B ∩ C) ∪ A = {a, b, c, d, f, g}
#((B ∩ C) ∪ A) = 6
[Esercizio 44] Essendo tutti gli insiemi disgiunti calcola #((A ∪ B) - (A ∩ B))
Se A e B sono disgiunti: A ∩ B = Ø
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) = 2 + 5 = 7
(A ∪ B) - (A ∩ B) = (A ∪ B) - Ø = A ∪ B
#((A ∪ B) - (A ∩ B)) = 7
[Esercizio 45] Se C è disgiunto e A e B hanno due elementi in comune, calcola #([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A])
#(A ∩ B) = 2
C disgiunto da A e B: B ∩ C = Ø, A ∩ C = Ø
(A ∩ B) ∪ C: ha 2 + 20 = 22 elementi
(B ∩ C) ∪ A = Ø ∪ A = A, ha 2 elementi
Poiché (A ∩ B) ⊆ A: [(A ∩ B) ∪ C] - A = C
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A]) = #(C) = 20
[Esercizio 46] Supponiamo che un istituto bancario abbia condotto un sondaggio sulla situazione economica delle famiglie spagnole. Secondo i risultati del sondaggio, il 30% delle famiglie pagava un mutuo ipotecario, il 40% pagava un prestito per l'acquisto di un'auto e il 10% pagava entrambi i prestiti. L'istituto desidera sapere quale percentuale di famiglie non paga né mutui ipotecari né prestiti per l'acquisto di un'auto.
H = famiglie con mutuo ipotecario, C = famiglie con prestito auto
#(H) = 30%, #(C) = 40%, #(H ∩ C) = 10%
#(H ∪ C) = #(H) + #(C) - #(H ∩ C) = 30 + 40 - 10 = 60%
Famiglie senza alcun prestito: 100% - 60% = 40%
[Esercizio 47] (Esercizio in attesa di enunciato)
Esercizio in attesa di enunciato.
[Esercizio 48] Supponiamo che in una riunione ci siano 40 persone che parlano una delle seguenti lingue: tedesco, spagnolo o inglese. Si sa che 22 parlano tedesco, 26 non parlano inglese, 30 parlano solo una lingua, 30 parlano inglese o tedesco, 7 parlano inglese ma non spagnolo e 17 parlano tedesco ma non spagnolo. Si desidera rispondere a domande come: Quante persone parlano tutte e tre le lingue? Quante persone parlano solo spagnolo? Quante parlano spagnolo ma non inglese?
A = tedesco, E = spagnolo, I = inglese
Totale = 40, #(A) = 22, #(Iᶜ) = 26 → #(I) = 14
Solo una lingua = 30, #(I ∪ A) = 30
#(I - E) = 7, #(A - E) = 17
#(A ∪ I) = #(A) + #(I) - #(A ∩ I) → 30 = 22 + 14 - #(A ∩ I) → #(A ∩ I) = 6
Solo spagnolo = 40 - 30 = 10
Persone che parlano tutte e tre le lingue: Usando il principio di inclusione-esclusione, #(A ∩ E ∩ I) = 4
Solo spagnolo: 10
Spagnolo ma non inglese: #(E) - #(E ∩ I) = 13
[Esercizio 49] Da un sondaggio emerge che uno su quattro spagnoli è appassionato di calcio e che uno su dieci è appassionato di pallacanestro. Non ci sono dati su quanti spagnoli condividano entrambe le passioni. In queste circostanze non è possibile determinare con esattezza quanti spagnoli abbiano una delle due passioni, ma si può assicurare che la percentuale di spagnoli che hanno una di queste passioni non supera il 35%.
F = appassionati di calcio (25%), B = appassionati di pallacanestro (10%)
#(F ∪ B) = #(F) + #(B) - #(F ∩ B)
Minimo di #(F ∩ B) = 0 (disgiunti)
Massimo di #(F ∪ B) = 25 + 10 - 0 = 35%
Se c'è intersezione, la percentuale sarà inferiore al 35%.
[Esercizio 50] Se l'80% degli studenti di un corso supera la materia X e il 70% supera la materia Y, ogni 100 studenti, l'insieme A degli approvati in X ha cardinalità 80 e l'insieme B degli approvati in Y ha cardinalità 70. Quanti hanno superato entrambe le materie?
#(A) = 80, #(B) = 70, #(U) = 100
#(A ∪ B) ≤ 100
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
100 ≥ 80 + 70 - #(A ∩ B)
#(A ∩ B) ≥ 150 - 100 = 50
Almeno 50 studenti hanno superato entrambe le materie.
Il massimo sarebbe 70 (se tutti quelli di B avessero superato anche A).