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(6) Esegui le seguenti operazioni mediante la cardinalità dei seguenti insiemi:
Essendo #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 esegui le seguenti operazioni.
1. [Esercizio 41]
Se (A ∩ B) sono disgiunti, #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= 2 + 5- 0
#(A ∩ B)= 7
2. [Esercizio 42]
Se C è disgiunto da (A ∩ B) e A={a,b} e B={b, c, d, f, g}, qual è la cardinalità di # ((A ∩ B) ∪ C)?
3. [Esercizio 43]
Se A={a,b}, B={b, c, d, f, g} e C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, r, s , t, v} qual è la cardinalità di
# ((B ∩ C) ∪ A) ?
B ⊂ C, pertanto, la cardinalità di #(B ∩ C) sarà la cardinalità di #(C)
#(B ∩ C) = 20
A ⊂ C, pertanto, #(B ∩ C) = #((B ∩ C) ∪ #(A))
#((B ∩ C) ∪ #(A))=20
4. [Esercizio 44] Essendo tutti gli insiemi disgiunti calcola
#((A∪ B) - (A ∩ B))
5. [Esercizio 45]
Se C è disgiunto e A e B hanno due elementi in comune, calcola
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])?
| (A ∩ B) ∪ C) | (B ∩ C) ∪ A |
|---|---|
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 A ⊂ B #(A ∩ B)= 5 #(A ∩ B) = 5 #((A ∩ B) ∪ C)= 25 |
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 #((B ∩ C))= 25 #(A)=2 A ⊂ B #((B ∩ C) ∪ A)= 25 |
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A)])= 25 - 25= 0 |
|
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])= 0
Problemi di cardinalità degli insiemi:
6. [Esercizio 46] Supponiamo che un istituto bancario abbia condotto un sondaggio sulla situazione economica delle famiglie spagnole. Secondo i risultati del sondaggio, il 30% delle famiglie pagava un mutuo ipotecario, il 40% pagava un prestito per l'acquisto di un'auto e il 10% pagava entrambi i prestiti. L'istituto desidera sapere quale percentuale di famiglie non paga né mutui ipotecari né prestiti per l'acquisto di un'auto.
Soluzione:
Per proporzionalità, è sufficiente ragionare su un universo di 100 famiglie. Chiamiamo A l'insieme delle famiglie, tra le 100, che stanno pagando un mutuo ipotecario e B l'insieme delle famiglie che pagano un prestito per l'acquisto di un'auto. Secondo i dati, ogni 100 famiglie 30 appartengono ad A e 40 appartengono a B, pertanto, #(A)=40 e #(B)=30 quindi #(A ∩ B)= 10. Allora, quelle che pagano uno dei prestiti saranno:
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
= 30 + 40 - 10
=60
e quelle che non pagano nessuno dei due prestiti saranno
#((A ∪ B)c) = #(U) - #((A ∪ B))= 100 - 60= 40
7. [Esercizio 47]
8. [Esercizio 48] Supponiamo che in una riunione ci siano 40 persone che parlano una delle seguenti lingue: tedesco, spagnolo o inglese. Si sa che 22 parlano tedesco, 26 non parlano inglese, 30 parlano solo una lingua, 30 parlano inglese o tedesco, 7 parlano inglese ma non spagnolo e 17 parlano tedesco ma non spagnolo. Si desidera rispondere a domande come: Quante persone parlano tutte e tre le lingue? Quante persone parlano solo spagnolo? Quante parlano spagnolo ma non inglese?
Soluzione:
Chiamiamo A, B e C, rispettivamente, gli insiemi delle persone che parlano tedesco, spagnolo e inglese. Tutte le relazioni tra questi insiemi possono essere rappresentate in un diagramma di Venn:
Se formalizziamo i dati che appaiono nell'enunciato, otterremo i seguenti dati:
| Numero | Enunciato | Formalizzazione | Cardinalità | Quantità |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Persone in totale | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VI) +#(VII) = | 40 |
| 2 | Parlano tedesco | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(V)= | 22 |
| 3 | Non parlano inglese | A ∩ Bc ∩ C | #(II) +#(V) +#(VI)= | 26 |
| 4 | Parlano solo una lingua | Ac ∩ B ∩ C | #(V) +#(VI)+#(VII)= | 30 |
| 5 | Parlano inglese o tedesco | A ∩ Bc ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = | 30 |
| 6 | Parlano inglese ma non spagnolo | Ac ∩ B ∩ Cc | #(III) + #(VII) = | 7 |
| 7 | Parlano tedesco ma non spagnolo | Ac∩ Bc ∩ Cc | #(III) + #(V) = | 17 |
Quante persone parlano solo spagnolo?
Rispondere a questa domanda è semplice. (2) sono coloro che parlano inglese o tedesco. Se sottraiamo (2) al numero totale di persone (1) otteniamo il numero di persone che parlano solo spagnolo.
(1)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) + #(VI) #(VII) =40
(2)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(VI)=#(1)-#(2)
#(VI)=10
Le persone che parlano solo spagnolo sono 10.
Quante persone parlano tutte e tre le lingue?
Per scoprire questa cifra è necessario fare più operazioni... Osserviamo il numero di persone che parlano solo una lingua (4)
#(4)= #(V) + #(VI) +#(VII) = 30
#(VI)= 10
#(V) + #(VII) = 20
Sappiamo che 10 persone parlano solo spagnolo. Pertanto, possiamo dedurre che 20 persone parlano o inglese o tedesco.
Ora scopriremo il numero di persone che parlano inglese ma non spagnolo e il numero di persone che parlano tedesco ma non spagnolo. E con questo dato, insieme alla nostra conoscenza del numero di parlanti che parlano solo inglese o solo tedesco, dedurremo quelli che parlano spagnolo e inglese:
#(6) +#(7)= 2x#(III) +#(V) + #(VII)=24
#(V)+#(VII)=20
2x#(III)=4
#(III)=2
Sappiamo già che il numero di persone che parlano spagnolo e tedesco è 4 (#III). Ora è facile dedurre quelli che parlano solo inglese e quelli che parlano solo tedesco.
#(6)= #(III) +#(VII)=7
#(III)=2
#(VII)=5
3 persone parlano solo inglese (#VII).
#(7)= #(III) + #(V)=17
#(III)=2
#(V)=15
15 sono quelli che parlano tedesco.
Sapendo quelli che non parlano inglese #(2) e quelli che parlano tedesco #(V) e quelli che parlano solo spagnolo #(VI), possiamo dedurre quelli che parlano tedesco e spagnolo #(II).
#(3)=#(II) + #(V) +#(VI)=26
#(V)= 15
#(VI)= 10
Pertanto, #(II)=1
Poiché sappiamo quelli che parlano tedesco #(2), quelli che parlano tedesco e spagnolo #(II), quelli che parlano inglese e tedesco #(III) e, infine, quelli che parlano solo tedesco #(V), possiamo definitivamente dedurre il numero di persone che parlano tutte e tre le lingue.
#(2)=#(I)+#(II)+#(III)+#(V)=22
#(II)=1
#(III)=2
#(V)=15
Pertanto, #(I)= 4
Quante persone parlano spagnolo ma non inglese?
Prima dedurremo il valore di #(IV) mediante i dati disponibili e mediante #(5):
#(5)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(I)= 4
#(II)= 1
#(III)= 2
#(V) = 15
#(VII)= 5
Pertanto, #(IV)= 3
e con questo dato deduciamo mediante questa operazione il numero di spagnoli che non sanno l'inglese:
#(IV) + #(VI)=
#(IV)=3
#(VI)=10
15
Il numero di persone di lingua spagnola che non sanno l'inglese è 15.
Esercizio risolto!
9. [Esercizio 49] Da un sondaggio emerge che uno su quattro spagnoli è appassionato di calcio e che uno su dieci è appassionato di pallacanestro. Non ci sono dati su quanti spagnoli condividano entrambe le passioni. In queste circostanze non è possibile determinare con esattezza quanti spagnoli abbiano una delle due passioni, ma si può assicurare che la percentuale di spagnoli che hanno una di queste passioni non sarà superiore alla somma degli appassionati di calcio e degli appassionati di pallacanestro. Poiché, ogni 100 spagnoli, ci sono 25 appassionati di calcio e 10 appassionati di pallacanestro, si può assicurare che la percentuale di spagnoli che hanno una di queste passioni non supera il 35%.
10. [Esercizio 50] Se l'80% degli studenti di un corso supera la materia X e il 70% supera la materia Y, ogni 100 studenti, l'insieme A degli approvati in X ha cardinalità 80 e l'insieme B degli approvati in Y ha cardinalità 70. Quanti hanno superato entrambe le materie?
Soluzione:
#(A ∩ B) ≥ #(A) +#(B) -#(U)= 80 + 70 -100=50
Pertanto, almeno il 50% degli studenti avrà superato entrambe le materie.
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