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Ejercicios resueltos de teoria de conjuntos
(1) Define por intensión (por descripción o comprensión) los siguientes conjuntos definidos por extensión (o por enumeración):
[Ejercicio 1] P={Huelva, Sevilla, Córdoba, jaén, Cádiz, Málaga, Granada, Cordoba}
P= {x/ x es provincia de Andalucía}
[Ejercicio 2] P={ Antioquia, Bolívar, Boyocá, Caldas, Cauca, Choco, Cundinamarca, Huila, La Guajira, Meta, Niriño, Norte de Santander, Santander, Sucre, Tolima, Valle del Cauca }
P= {x/ x es departamento de Colombia}
[Ejercicio 3] P={1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
P= {x/ x ∈ ℕ} (x es número natural)
[Ejercicio 4] P={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
P= {x/ x ∈ ℤ} (x es número entero)
[Ejercicio 5] P={Teoría de conjuntos, Teoría de modelos, Teoría de demostración, Teoría de la computabilidad...}
P= {x/ x es una rama de la lógica matemática}
[Ejercicio 6] P={ <Julio Iglesias de la Cueva, Enrique Iglesias>, <Julio Iglesias de la cueva, Julio Jose Iglesias>}
P= {<x,y> ∈ CxC/ y es hijo del cantante x} Siendo C={x/x es cantante}
[Ejercicio 7] P={5, 10, 15, 20...}
P= {x/ x es múltiplo de 5}
[Ejercicio 8] P= {...<1,-1>, <2, -2> <3, -3>, <4, -4>, <5, -5>...}
P= {<x,y> ∈ ℤxℤ/ y = -x}
[Ejercicio 9] P={<Luis Gutiérrez Alvarez, 76849912A>, <Adrián Gómez Lerin, 48593254Z>, <Antonio Banderas Rodillo, 65749934H}
P= {<x,y> ∈ HxD/ y es el DNI de x} Siendo H=personas y D=números de DNI
[Ejercicio 10] P={<1,1>, <2,4>, <3, 9>, <4,16>, <5,25>...}
P= {<x,y> ∈ ℕxℕ/ y = x²}
(2) Define por extensión los siguientes conjuntos definidos por intensión:
[Ejercicio 11] P={x ∈ H/ x es del grupo de los Jackson Five}
P= {Michael Jackson, Jackie Jackson, Tito Jackson, Jermaine Jackson, Marlon Jackson}
[Ejercicio 12] P={x/x es integrante de los Beatles}
P= {John Lennon, Paul McCartney, George Harrison, Ringo Starr}
[Ejercicio 13] P= {x/ x² - 4=0}
x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2
P= {2, -2}
[Ejercicio 14] P={x/ x² - 48x + 578 = 0}
Usando la fórmula cuadrática: x = (48 ± √(2304-2312))/2
Como el discriminante es negativo, P= Ø (conjunto vacío)
[Ejercicio 15] P={x / x es uno de los libros de Harry Potter}
P= {Harry Potter y la piedra filosofal, Harry Potter y la cámara secreta, Harry Potter y el prisionero de Azkaban, Harry Potter y el cáliz de fuego, Harry Potter y la Orden del Fénix, Harry Potter y el misterio del príncipe, Harry Potter y las Reliquias de la muerte}
[Ejercicio 16] P={x/x es un biotipo}
P= {Ectomorfo, Mesomorfo, Endomorfo}
[Ejercicio 17] P={<x,y> ∈ N x N/ y= x+1}
P= {<1,2>, <2,3>, <3,4>, <4,5>, <5,6>...}
[Ejercicio 18] P={<x,y> ∈ NxN/ x+y=170}
P= {<1,169>, <2,168>, <3,167>, ... <85,85>, ... <169,1>}
[Ejercicio 19] P={<x,y> ∈ SxA/ y es el codigo ascii de x} Siendo S un simbolo informático y A un número ASCII.
P= {<NULL,0>, <SOH,1>, <STX,2>, <ETX,3>, ... <A,65>, <B,66>, ... <a,97>...}
[Ejercicio 20] P={<x,y> ∈ NxR/ x es el número que le corresponde a y} Siendo N los números naturales y siendo R los números expuestos dentro del sistema de númeración romano.
P= {<1,I>, <2,II>, <3,III>, <4,IV>, <5,V>, <6,VI>, <7,VII>, <8,VIII>, <9,IX>, <10,X>...}
(3) Realiza las siguientes operaciones entre conjuntos y representalos gráficamente mediante diagramas de Venn:
Siendo A= {0,1,2}, B={0,1,{2}} C={4,5} representa y calcula las siguientes operaciones:
[Ejercicio 21] A ∩ B
A ∩ B = {0, 1}
Los elementos comunes a A y B son 0 y 1. Nota: {2} ∈ B pero 2 ∈ A, son diferentes.
[Ejercicio 22] A ∪ B
A ∪ B = {0, 1, 2, {2}}
La unión incluye todos los elementos de ambos conjuntos.
[Ejercicio 23] A - C
A - C = {0, 1, 2}
Como A y C son disjuntos (no tienen elementos en común), A - C = A
[Ejercicio 24] A ∪ B ∪ C
A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, {2}, 4, 5}
[Ejercicio 25] A ∩ (B ∪ C)
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}
[Ejercicio 26] (B ∪ C) - (A ∩ B)
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ B = {0, 1}
(B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}
[Ejercicio 27] P(A) ∩ B
P(A) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}
P(A) ∩ B = {{2}}
El único elemento que está en P(A) y en B es {2}
[Ejercicio 28] A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)
B ∩ C = Ø
A ∪ (B ∩ C) = A ∪ Ø = {0, 1, 2}
B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}
A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}
A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2} - {0, 1} = {2}
[Ejercicio 29] A ∩ A - A ∪ A
A ∩ A = A = {0, 1, 2}
A ∪ A = A = {0, 1, 2}
A - A = Ø
[Ejercicio 30] [A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C) - (A ∩ B)]
Del ejercicio 28: A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {2}
Del ejercicio 26: (B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}
{2} - {{2}, 4, 5} = {2}
Nota: {2} ≠ 2, por lo que 2 no está en el segundo conjunto.
(4) Resuelve la validez de los siguientes argumentos mediante diagramas de Venn:
[Ejercicio 31] "Ningún empirista es racionalista. Los positivistas son empiristas. Por tanto, ningún positivista es racionalista."
Conjuntos: E={x/x es Empirista}, R={x/x es racionalista}, P={x/x es positivista}
Formalización:
1. E ∩ R = Ø (Ningún empirista es racionalista)
2. P ⊆ E (Los positivistas son empiristas)
Conclusión: P ∩ R = Ø
El argumento es VÁLIDO. Si P ⊆ E y E ∩ R = Ø, entonces necesariamente P ∩ R = Ø.
[Ejercicio 32] "Algunos matemáticos son rigurosos. Algunos matemáticos fallan en los calculos. Todos los matemáticos que fallan en sus calculos no son rigurosos. Por tanto, Todos los matemáticos rigurosos no fallan en los calculos."
Conjuntos: M={x/x es matemático}, R={x/x es riguroso}, F={x/x falla en cálculos}
Formalización:
1. M ∩ R ≠ Ø
2. M ∩ F ≠ Ø
3. (M ∩ F) ∩ R = Ø
Conclusión: (M ∩ R) ∩ F = Ø
El argumento es VÁLIDO. La premisa 3 establece que los que fallan no son rigurosos, lo cual es equivalente a decir que los rigurosos no fallan.
[Ejercicio 33] "Hay creyentes agnosticos y creyentes no agnosticos. Ningún ateo es creyente. Todos los agnosticos son ateos. Por tanto, algún ateo no es creyente ni agnostico."
Conjuntos: C={x/x es creyente}, G={x/x es agnóstico}, A={x/x es ateo}
Formalización:
1. C ∩ G ≠ Ø (Hay creyentes agnósticos)
2. C - G ≠ Ø (Hay creyentes no agnósticos)
3. A ∩ C = Ø (Ningún ateo es creyente)
4. G ⊆ A (Todos los agnósticos son ateos)
Problema: Las premisas 1 y 4 juntas implican C ∩ A ≠ Ø, pero la premisa 3 dice A ∩ C = Ø.
Las premisas son INCONSISTENTES.
[Ejercicio 34] "Todos los bailarines son egocentricos. Algunos egocentricos les gusta que les miren, aunque hay a otros que no. A los que les gusta son bailarines y a los que no también. Por tanto, Todos los egocentricos son bailarines."
Conjuntos: B={x/x es bailarín}, E={x/x es egocéntrico}, G={x/a x le gusta que le miren}
Formalización:
1. B ⊆ E (Todos los bailarines son egocéntricos)
2. E ∩ G ≠ Ø y E - G ≠ Ø (Algunos egocéntricos les gusta, otros no)
3. (E ∩ G) ⊆ B y (E - G) ⊆ B
De 3: E ⊆ B
Conclusión: E ⊆ B (Todos los egocéntricos son bailarines)
El argumento es VÁLIDO.
[Ejercicio 35] "Los filósofos son amantes de la sabiduria. Algunos amantes de la sabiduria persiguen el bien. Por tanto, algunos filósofos persiguen el bien"
Conjuntos: F={x/x es filósofo}, A={x/x es amante de la sabiduría}, P={x/x persigue el bien}
Formalización:
1. F ⊆ A (Los filósofos son amantes de la sabiduría)
2. A ∩ P ≠ Ø (Algunos amantes persiguen el bien)
Conclusión: F ∩ P ≠ Ø
El argumento NO es válido. Que algunos amantes de la sabiduría persigan el bien no garantiza que esos sean los filósofos. Podría haber amantes de la sabiduría que persiguen el bien pero no son filósofos.
(5) Simplifica los siguientes conjuntos:
La letra "c" indica que se trata del complementario.
[Ejercicio 36] (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)
(A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)
= A ∩ (B ∩ Bᶜ) [Asociativa]
= A ∩ Ø [B ∩ Bᶜ = Ø]
= Ø
[Ejercicio 37] (Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A
(Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A
= (A ∪ Bᶜ) ∪ (Bᶜ ∩ A) ∪ A [De Morgan]
= (A ∪ Bᶜ) ∪ A [Absorción: (Bᶜ ∩ A) ⊆ A]
= A ∪ Bᶜ [Absorción: A ⊆ (A ∪ Bᶜ)]
= A ∪ Bᶜ
[Ejercicio 38] (A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)
(A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)
= (A ∩ Aᶜ) ∩ (Bᶜ ∩ B) [Conmutativa y Asociativa]
= Ø ∩ Ø
= Ø
[Ejercicio 39] (A ∪ A) - (A ∩ B)
(A ∪ A) - (A ∩ B)
= A - (A ∩ B) [Idempotencia: A ∪ A = A]
= A ∩ (A ∩ B)ᶜ [Definición de diferencia]
= A ∩ (Aᶜ ∪ Bᶜ) [De Morgan]
= (A ∩ Aᶜ) ∪ (A ∩ Bᶜ) [Distributiva]
= Ø ∪ (A ∩ Bᶜ)
= A ∩ Bᶜ (o A - B)
[Ejercicio 40] (A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)
(A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)ᶜ [De Morgan: Bᶜ ∪ Aᶜ = (A ∩ B)ᶜ]
= U (Universo)
(6) Realiza las siguientes operaciones mediante la cardinalidad de los siguientes conjuntos:
Siendo #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 realiza las siguientes operaciones.
[Ejercicio 41] Si A y B son disjuntos, #(A ∪ B)
Si A ∩ B = Ø (disjuntos):
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∪ B) = 2 + 5 - 0 = 7
[Ejercicio 42] Si C es disjunto a (A ∩ B) y A={a,b} y B={b, c, d, f, g}, ¿Cuáles la cardinalidad de #((A ∩ B) ∪ C)?
A ∩ B = {b}, por tanto #(A ∩ B) = 1
Como C es disjunto a (A ∩ B):
#((A ∩ B) ∪ C) = #(A ∩ B) + #(C) = 1 + 20 = 21
[Ejercicio 43] Si A={a,b}, B={b, c, d, f, g} y C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, r, s, t, v} ¿Cuál es la cardinalidad de #((B ∩ C) ∪ A)?
B ∩ C = {b, c, d, f, g} (B ⊂ C), #(B ∩ C) = 5
A = {a, b}
(B ∩ C) ∪ A = {a, b, c, d, f, g}
#((B ∩ C) ∪ A) = 6
[Ejercicio 44] Siendo todos los conjuntos disjuntos calcula #((A ∪ B) - (A ∩ B))
Si A y B son disjuntos: A ∩ B = Ø
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) = 2 + 5 = 7
(A ∪ B) - (A ∩ B) = (A ∪ B) - Ø = A ∪ B
#((A ∪ B) - (A ∩ B)) = 7
[Ejercicio 45] Si C es disjunto y A y B tienen dos elementos en común, calcula #([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A])
#(A ∩ B) = 2
C disjunto a A y B: B ∩ C = Ø, A ∩ C = Ø
(A ∩ B) ∪ C: tiene 2 + 20 = 22 elementos
(B ∩ C) ∪ A = Ø ∪ A = A, tiene 2 elementos
Como (A ∩ B) ⊆ A: [(A ∩ B) ∪ C] - A = C
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A]) = #(C) = 20
[Ejercicio 46] Supongamos que una entidad bancaria ha realizado una encuesta acerca de la situación económica de las familias españolas. Según los resultados de la encuesta, el 30% de las familias pagaban un crédito hipotecario, el 40% pagaban un crédito para comprar un coche y el 10% pagaban créditos de ambos. La entidad desea saber qué porcentaje de familias no pagan ni créditos hipotecarios ni créditos para la compra de un coche.
H = familias con crédito hipotecario, C = familias con crédito coche
#(H) = 30%, #(C) = 40%, #(H ∩ C) = 10%
#(H ∪ C) = #(H) + #(C) - #(H ∩ C) = 30 + 40 - 10 = 60%
Familias sin ningún crédito: 100% - 60% = 40%
[Ejercicio 47] (Ejercicio pendiente de enunciado)
Ejercicio pendiente de enunciado.
[Ejercicio 48] Supongamos que en una reunión hay 40 personas que hablan alguno de los idiomas alemán, español o inglés. Se sabe que 22 hablan alemán, 26 no hablan inglés, 30 hablan sólo un idioma, 30 hablan inglés o alemán, 7 hablan inglés pero no hablan español y 17 hablan alemán pero no hablan español. Se desea responder a preguntas como ¿Cuántas personas hablan los tres idiomas? ¿Cuántas personas hablan sólo español? ¿Cuántas hablan español pero no hablan inglés?
A = alemán, E = español, I = inglés
Total = 40, #(A) = 22, #(Iᶜ) = 26 → #(I) = 14
Sólo un idioma = 30, #(I ∪ A) = 30
#(I - E) = 7, #(A - E) = 17
#(A ∪ I) = #(A) + #(I) - #(A ∩ I) → 30 = 22 + 14 - #(A ∩ I) → #(A ∩ I) = 6
Sólo español = 40 - 30 = 10
Personas que hablan los tres idiomas: Usando inclusión-exclusión, #(A ∩ E ∩ I) = 4
Sólo español: 10
Español pero no inglés: #(E) - #(E ∩ I) = 13
[Ejercicio 49] De una encuesta se desprende que uno de cada cuatro españoles es aficionado al fútbol y que uno de cada diez es aficionado al baloncesto. No se dispone de datos acerca de cuántos españoles comparten ambas aficiones. En estas circunstancias no se puede averiguar con exactitud cuántos españoles tienen alguna de las dos aficiones, pero sí puede asegurarse que el porcentaje de españoles que tienen alguna de esas aficiones no supera el 35%.
F = aficionados fútbol (25%), B = aficionados baloncesto (10%)
#(F ∪ B) = #(F) + #(B) - #(F ∩ B)
Mínimo de #(F ∩ B) = 0 (disjuntos)
Máximo de #(F ∪ B) = 25 + 10 - 0 = 35%
Si hay intersección, el porcentaje será menor que 35%.
[Ejercicio 50] Si el 80% de los alumnos de un curso aprueban la asignatura X y el 70% aprueba la asignatura Y, de cada 100 alumnos, el conjunto A de aprobados en X tiene cardinalidad 80 y el conjunto B de aprobados en Y tiene cardinalidad 70, ¿Cuántos han aprobado las dos asignaturas?
#(A) = 80, #(B) = 70, #(U) = 100
#(A ∪ B) ≤ 100
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
100 ≥ 80 + 70 - #(A ∩ B)
#(A ∩ B) ≥ 150 - 100 = 50
Al menos 50 alumnos han aprobado ambas asignaturas.
El máximo sería 70 (si todos los de B también aprobaron A).