Gelöste mathematische Logikprobleme zum Üben des Scharfsinns
(0) Mathematische Logikprobleme : Lösung 0.1
0.1 Vor einigen Tagen erzählte man mir den Fall eines Mannes namens Roque, Barbier in Las Batuecas. Man hatte mir nur zwei Sätze gesagt, als ich ausrief: Unmöglich!
"Roque lebt in Las Batuecas"
"Roque rasiert die Einwohner von Las Batuecas, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese."
INTUITIVE ANTWORT:
Nehmen wir an, Roque rasiert sich selbst,
in diesem Fall, da er Einwohner von Batuecas ist, sollte er sich nicht selbst rasieren. Aber tatsächlich rasiert er sich.
Nehmen wir nun an, Roque rasiert sich nicht selbst,
Nun, in diesem Fall rasiert Roque sich aus genau diesem Grund selbst.
MATHEMATISCHE ANTWORT:
| 1. Hrb | ⊦ Arr ∧ ¬Arr | |
| 2. ∀x(Hxb ∧ ¬Axx <-->Arx) | ||
| 3. Hrb ∧ ¬Arr <--> Arx) | E∀2 (x:a) | |
| ┌ | 4. Arr | |
| | | 5. Arr -->Hrb ∧¬Arr | E<-->3 |
| | | 6. Hrb ∧ ¬Arr | E-->4,5 |
| ┗ | 7. ¬Arr | E^6 |
| 8. Arr --> ¬Arr | I-->4-7 | |
| ┌ | 9. ¬Arr | |
| | | 10. Hrb ∧¬Arr -->Arr | E<-->3 |
| | | 11. Hrb ∧ ¬Arr | I^1,9 |
| ┗ | 12. Arr | E--> 10,11 |
| 13. ¬Arr --> Arr | I--> 9-12 | |
| 14. ¬Arr ∨ ¬Arr | Def -->/v 8 | |
| 15. Arr ∨ Arr | Def -->/v 131 | |
| 16. ¬Arr | Idem 14 | |
| 17. Arr | Idem 15 | |
| 18. Arr ∧ ¬Arr | I^ 16, 17 |
Dies zeigt, dass diese Prämissen zu einem Widerspruch führen, d.h. dass Roque sich selbst rasiert und nicht rasiert. Da diese beiden Prämissen zu einem Widerspruch führen, können wir behaupten, dass beide Prämissen inkonsistent sind. Unmöglich!