Passen Sie die gelösten Übungen an Ihr Fach an. Kostenlos registrieren
Gelöste mathematische Logikprobleme zum Üben des Scharfsinns
(0) Mathematische Logikprobleme die Sie mit einer logischen Methode beweisen müssen
[0.1] Roque, ein Barbier aus Batuecas, rasiert alle Einwohner, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese. Warum ist das unmöglich?
INTUITIVE ANTWORT:
Nehmen wir an, Roque rasiert sich selbst: In diesem Fall, da er Einwohner von Batuecas ist, sollte er sich nicht selbst rasieren. Aber tatsächlich rasiert er sich.
Nehmen wir nun an, Roque rasiert sich nicht selbst: Nun, in diesem Fall rasiert Roque sich aus genau diesem Grund selbst.
MATHEMATISCHE ANTWORT:
Dies zeigt, dass diese Prämissen zu einem Widerspruch führen, d.h. dass Roque sich selbst rasiert und nicht rasiert. Da diese beiden Prämissen zu einem Widerspruch führen, können wir behaupten, dass beide Prämissen inkonsistent sind. Unmöglich!
[0.2] Ein Journalist interviewt einen hundertjährigen Mann und dieser enthüllt ihm das Geheimnis seiner Langlebigkeit: "Wenn ich kein Bier trinke, dann esse ich Fisch" und "Ich esse keinen Fisch, wenn ich Eis esse oder kein Bier trinke". Ist es möglich, eine solche Diät einzuhalten? Was ist die geheime Zutat?
Formalisierung:
"Wenn ich kein Bier trinke, dann esse ich Fisch" = ¬p → q
"Ich esse keinen Fisch, wenn ich Eis esse oder kein Bier trinke" = r ∨ ¬p → ¬q
Drei Alternativen in seiner Diät:
1. Bier und kein Eis.
2. Bier und kein Fisch
3. Bier, Fisch und kein Eis.
Die Zutat der Langlebigkeit ist: Das Bier!
[0.3] Den Logiker Caferino fragte man: Liebst du Queta, Petra oder Rosana? Er dachte: "Ich liebe mindestens eine der drei. Wenn ich Petra liebe, aber nicht Queta, dann liebe ich Rosana. Entweder liebe ich Queta oder Rosana, oder ich liebe keine der drei. Wenn ich Queta liebe, liebe ich auch Petra." Wen liebt der Logiker Caferino?
Formalisierung:
1. p ∨ q ∨ r (Ich liebe mindestens eine der drei)
2. (p ∧ ¬q → r) (Wenn ich Petra liebe, aber nicht Queta, dann liebe ich Rosana)
3. [(q ∨ r) ∧ ¬(q∧r)) ∨ ¬(p ∨ q ∨ r)] (Entweder liebe ich Queta oder Rosana, oder ich liebe keine)
4. q → p (Wenn ich Queta liebe, liebe ich auch Petra)
Drei Lösungen:
1. Liebt Petra und Queta, aber nicht Rosana.
2. Liebt Petra und Rosana, aber nicht Queta.
3. Liebt nur Rosana.
[0.4] Eine Hutschachtel enthält 5 Hüte (3 weiße und 2 schwarze). 3 Logiker verbinden sich die Augen und setzen sich einen Hut auf. Der erste sagt "Ich weiß nicht, welche Farbe mein Hut hat". Der zweite sagt "Ich auch nicht". Der dritte behauptet, ohne die Augenbinde abzunehmen: "Meiner ist weiß". Wie hat er das erschlossen?
Wenn A es weiß, dann haben B und C schwarze Hüte. Daher, wenn sie es nicht wissen, hat mindestens einer einen weißen.
Das bedeutet, wenn C einen schwarzen hat, dann hat B einen weißen. B weiß es.
B schaut C an und weiß es nicht. Wenn B es wüsste, hätte C einen schwarzen gehabt.
C weiß, dass A und B es nicht wissen, daher weiß er, dass seiner weiß ist.
(1) Mathematische Logikprobleme mittels Wahrheitstabellen
[1.1] Ein Imageberater muss eine Kundin über Accessoires für eine Hochzeit beraten. Er hat: blaue Ohrringe, Perlenkette, schwarzes Armband, rote Ohrringe, brauner Gürtel, rote Halskette. Sie möchte genau 2 Accessoires tragen. (a) Wie viele Kombinationen ohne Einschränkung? (b) Kombinationen mit einem roten und einem schwarzen? (c) Kombinationen mit maximal 2? (d) Kombinationen mit roten und anderen, nur 2 Accessoires?
a=blaue Ohrringe, b=Perlenkette, c=schwarzes Armband, d=rote Ohrringe, f=brauner Gürtel, g=rote Halskette
(1) 2 hoch 6 = 64 Möglichkeiten, ihre Accessoires zu kombinieren.
(2) Zwei Accessoires: ein rotes und ein schwarzes; und maximal zwei Accessoires.
Lösung: (d ∧ c) ∨ (g ∧ c) = (d ∨ g) ∧ c
(3) 15 mögliche Kombinationen.
(4) 20 mögliche Kombinationen.
[1.2] Ein Hacker muss vier boolesche Werte (1 oder 0) bestimmen, um ein Sicherheitssystem zu überwinden. Er hat sich entschieden, Brute Force anzuwenden. Könnten Sie in einer Wahrheitstabelle alle möglichen Kombinationen darstellen?
Bei 4 booleschen Werten (p, q, r, s) ist die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen:
2^4 = 16 mögliche Kombinationen
Dies kann in einer Wahrheitstabelle mit 16 Zeilen dargestellt werden, eine für jede Kombination von 0 und 1 für die vier Variablen.
[1.3] Ein Choreograph zählt die Möglichkeiten auf, wie ein Tänzer eine Tänzerin halten kann: Rücken, linker Arm, rechter Arm, Hals oder linkes Bein. (a) Ohne körperliche Einschränkung, wie viele Kombinationen? (b) Nur 2 Stellen, mit Einschränkungen: nicht beide Arme, und wenn Hals, muss er sie an einer anderen Stelle halten.
(a) Ohne körperliche Einschränkung: 2^5 = 32 mögliche Kombinationen (5 Körperstellen)
(b) Er kann sie nur an zwei Stellen gleichzeitig halten:
Kombinationen von 5 Elementen zu je 2 = C(5,2) = 10 Kombinationen
Mit den zusätzlichen Einschränkungen:
- Wenn er sie an einem Arm hält, nicht den anderen Arm halten
- Wenn er sie am Hals hält, muss er sie an einer anderen Stelle halten
Die Kombinationen werden reduziert, indem die eliminiert werden, die diese Regeln verletzen.
[1.4] An einer Bushaltestelle erinnern wir uns nicht, welcher Bus uns nach Hause bringt. Es fahren nur die Linien 34, 43, 23. Die 34 verbindet mit keiner Linie und macht keinen Umstieg, aber wir erinnern uns, dass wir beim letzten Mal umgestiegen sind. Wie viele logische Möglichkeiten gibt es, sich zu verirren?
Variablen: p=Linie 34, q=Linie 43, r=Linie 23
Einschränkung: Die 34 verbindet mit keiner Linie und macht keinen Umstieg.
Wir erinnern uns, dass wir beim letzten Mal umgestiegen sind, daher ist die 34 nicht die richtige.
Mit dieser Information hängen die Möglichkeiten, sich zu verirren, davon ab, zwischen 43 oder 23 zu wählen.
Logische Möglichkeiten, sich zu verirren: 2 mögliche Optionen (falsch 43 oder 23 wählen)
[1.5] Bei einer Führerscheinprüfung: "Als Fahrer gilt eine Person... (a) Die ein zweirädriges Moped fährt. (b) Die ein Lenkrad bedient, wenn sie in der Ausbildung fährt. (c) Die den Lenkmechanismus bedient oder das Fahrzeug steuert." Welche hat mehr wahre Interpretationen?
Analyse jeder Option:
a) "Fährt ein zweirädriges Moped" - spezifische Bedingung
b) "Bedient ein Lenkrad eines Fahrzeugs während der Ausbildung" - spezifische Bedingung
c) "Bedient den Lenkmechanismus oder steuert das Fahrzeug" - disjunktive Bedingung
Option c) hat mehr wahre Interpretationen, weil es eine Disjunktion (v) ist, die wahr ist, wenn mindestens einer der beiden Teile wahr ist.
In einer Wahrheitstabelle hat die Disjunktion 3 wahre Fälle von 4 möglichen, während die anderen Optionen restriktiver sind.