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Gelöste Übungen zur Mengenlehre

(1) Definiere durch Intension (durch Beschreibung oder Verständnis) die folgenden durch Extension (oder Aufzählung) definierten Mengen:

 

[Übung 1] P={Huelva, Sevilla, Córdoba, jaén, Cádiz, Málaga, Granada, Cordoba}

P= {x/ x ist eine Provinz von Andalusien}

[Übung 2] P={ Antioquia, Bolívar, Boyocá, Caldas, Cauca, Choco, Cundinamarca, Huila, La Guajira, Meta, Niriño, Norte de Santander, Santander, Sucre, Tolima, Valle del Cauca }

P= {x/ x ist ein Departement von Kolumbien}

[Übung 3] P={1,2,3,4,5,6,7,8,9...}

P= {x/ x ∈ ℕ} (x ist eine natürliche Zahl)

[Übung 4] P={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

P= {x/ x ∈ ℤ} (x ist eine ganze Zahl)

[Übung 5] P={Mengenlehre, Modelltheorie, Beweistheorie, Berechenbarkeitstheorie...}

P= {x/ x ist ein Zweig der mathematischen Logik}

[Übung 6] P={ <Julio Iglesias de la Cueva, Enrrique iglesias>, <Julio Iglesias de la cueva, Julio Jose Iglesias>}

P= {<x,y> ∈ CxC/ y ist Sohn des Sängers x} Wobei C={x/x ist Sänger}

[Übung 7] P={5, 10, 15, 20...}

P= {x/ x ist ein Vielfaches von 5}

[Übung 8] P= {...<1,-1>, <2, -2> <3, -3>, <4, -4>, <5, -5>...}

P= {<x,y> ∈ ℤxℤ/ y = -x}

[Übung 9] P={<Luis Guitierrez Alvarez, 76849912A>, <Adrián Gómez Lerin, 48593254Z>, <Antonio Banderas Rodillo, 65749934H}

P= {<x,y> ∈ HxD/ y ist die Personalausweisnummer von x} Wobei H=Personen und D=Personalausweisnummern

[Übung 10] P={<1,1>, <2,4>, <3, 9>, <4,16>, <5,25>...}

P= {<x,y> ∈ ℕxℕ/ y = x²}

 

(2) Definiere durch Extension die folgenden durch Intension definierten Mengen:

 

[Übung 11] P={x ∈ H/ x ist Mitglied der Jackson Five}

P= {Michael Jackson, Jackie Jackson, Tito Jackson, Jermaine Jackson, Marlon Jackson}

[Übung 12] P={x/x ist Mitglied der Beatles}

P= {John Lennon, Paul McCartney, George Harrison, Ringo Starr}

[Übung 13] P= {x/ x² - 4=0}

x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2

P= {2, -2}

[Übung 14] P={x/ x² - 48x + 578 = 0}

Mit der quadratischen Formel: x = (48 ± √(2304-2312))/2

Da die Diskriminante negativ ist, P= Ø (leere Menge)

[Übung 15] P={x / x ist eines der Harry-Potter-Bücher}

P= {Harry Potter und der Stein der Weisen, Harry Potter und die Kammer des Schreckens, Harry Potter und der Gefangene von Askaban, Harry Potter und der Feuerkelch, Harry Potter und der Orden des Phönix, Harry Potter und der Halbblutprinz, Harry Potter und die Heiligtümer des Todes}

[Übung 16] P={x/x ist ein Körpertyp}

P= {Ektomorph, Mesomorph, Endomorph}

[Übung 17] P={<x,y> ∈ N x N/ y= x+1}

P= {<1,2>, <2,3>, <3,4>, <4,5>, <5,6>...}

[Übung 18] P={<x,y> ∈ NxN/ x+y=170}

P= {<1,169>, <2,168>, <3,167>, ... <85,85>, ... <169,1>}

[Übung 19] P={<x,y> ∈ SxA/ y ist der ASCII-Code von x} Wobei S ein Computersymbol und A eine ASCII-Nummer ist.

P= {<NULL,0>, <SOH,1>, <STX,2>, <ETX,3>, ... <A,65>, <B,66>, ... <a,97>...}

[Übung 20] P={<x,y> ∈ NxR/ x ist die Zahl, die y entspricht} Wobei N die natürlichen Zahlen sind und R die im römischen Zahlensystem dargestellten Zahlen.

P= {<1,I>, <2,II>, <3,III>, <4,IV>, <5,V>, <6,VI>, <7,VII>, <8,VIII>, <9,IX>, <10,X>...}

 

(3) Führe die folgenden Mengenoperationen durch und stelle sie grafisch mit Venn-Diagrammen dar:

 

Gegeben sei A= {0,1,2}, B={0,1,{2}} C={4,5}. Stelle die folgenden Operationen dar und berechne sie:

 

[Übung 21] A ∩ B

A ∩ B = {0, 1}

Die gemeinsamen Elemente von A und B sind 0 und 1. Hinweis: {2} ∈ B aber 2 ∈ A, sie sind unterschiedlich.

[Übung 22] A ∪ B

A ∪ B = {0, 1, 2, {2}}

Die Vereinigung enthält alle Elemente beider Mengen.

[Übung 23] A - C

A - C = {0, 1, 2}

Da A und C disjunkt sind (keine gemeinsamen Elemente haben), gilt A - C = A

[Übung 24] A ∪ B ∪ C

A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, {2}, 4, 5}

[Übung 25] A ∩ (B ∪ C)

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}

[Übung 26] (B ∪ C) - (A ∩ B)

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ B = {0, 1}

(B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}

[Übung 27] P(A) ∩ B

P(A) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}

P(A) ∩ B = {{2}}

Das einzige Element, das in P(A) und B ist, ist {2}

[Übung 28] A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)

B ∩ C = Ø

A ∪ (B ∩ C) = A ∪ Ø = {0, 1, 2}

B ∪ C = {0, 1, {2}, 4, 5}

A ∩ (B ∪ C) = {0, 1}

A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2} - {0, 1} = {2}

[Übung 29] A ∩ A - A ∪ A

A ∩ A = A = {0, 1, 2}

A ∪ A = A = {0, 1, 2}

A - A = Ø

[Übung 30] [A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C) - (A ∩ B)]

Aus Übung 28: A ∪ (B ∩ C) - A ∩ (B ∪ C) = {2}

Aus Übung 26: (B ∪ C) - (A ∩ B) = {{2}, 4, 5}

{2} - {{2}, 4, 5} = {2}

Hinweis: {2} ≠ 2, daher ist 2 nicht in der zweiten Menge.

 

(4) Überprüfe die Gültigkeit der folgenden Argumente mit Venn-Diagrammen:

 

[Übung 31] "Kein Empiriker ist Rationalist. Die Positivisten sind Empiriker. Daher ist kein Positivist ein Rationalist."

Mengen: E={x/x ist Empiriker}, R={x/x ist Rationalist}, P={x/x ist Positivist}

Formalisierung:

1. E ∩ R = Ø (Kein Empiriker ist Rationalist)

2. P ⊆ E (Die Positivisten sind Empiriker)

Schlussfolgerung: P ∩ R = Ø

Das Argument ist GÜLTIG. Wenn P ⊆ E und E ∩ R = Ø, dann ist notwendigerweise P ∩ R = Ø.

[Übung 32] "Einige Mathematiker sind gründlich. Einige Mathematiker machen Rechenfehler. Alle Mathematiker, die Rechenfehler machen, sind nicht gründlich. Daher machen alle gründlichen Mathematiker keine Rechenfehler."

Mengen: M={x/x ist Mathematiker}, G={x/x ist gründlich}, F={x/x macht Rechenfehler}

Formalisierung:

1. M ∩ G ≠ Ø

2. M ∩ F ≠ Ø

3. (M ∩ F) ∩ G = Ø

Schlussfolgerung: (M ∩ G) ∩ F = Ø

Das Argument ist GÜLTIG. Prämisse 3 besagt, dass diejenigen, die Fehler machen, nicht gründlich sind, was gleichbedeutend damit ist, dass die Gründlichen keine Fehler machen.

[Übung 33] "Es gibt agnostische Gläubige und nicht-agnostische Gläubige. Kein Atheist ist gläubig. Alle Agnostiker sind Atheisten. Daher ist ein Atheist weder gläubig noch agnostisch."

Mengen: G={x/x ist gläubig}, A={x/x ist Agnostiker}, At={x/x ist Atheist}

Formalisierung:

1. G ∩ A ≠ Ø (Es gibt agnostische Gläubige)

2. G - A ≠ Ø (Es gibt nicht-agnostische Gläubige)

3. At ∩ G = Ø (Kein Atheist ist gläubig)

4. A ⊆ At (Alle Agnostiker sind Atheisten)

Problem: Die Prämissen 1 und 4 zusammen implizieren G ∩ At ≠ Ø, aber Prämisse 3 besagt At ∩ G = Ø.

Die Prämissen sind INKONSISTENT.

[Übung 34] "Alle Tänzer sind egozentrisch. Einige Egozentriker mögen es, angeschaut zu werden, obwohl es andere gibt, die es nicht mögen. Diejenigen, die es mögen, sind Tänzer, und diejenigen, die es nicht mögen, auch. Daher sind alle Egozentriker Tänzer."

Mengen: T={x/x ist Tänzer}, E={x/x ist egozentrisch}, M={x/x mag es, angeschaut zu werden}

Formalisierung:

1. T ⊆ E (Alle Tänzer sind egozentrisch)

2. E ∩ M ≠ Ø und E - M ≠ Ø (Einige Egozentriker mögen es, andere nicht)

3. (E ∩ M) ⊆ T und (E - M) ⊆ T

Aus 3: E ⊆ T

Schlussfolgerung: E ⊆ T (Alle Egozentriker sind Tänzer)

Das Argument ist GÜLTIG.

[Übung 35] "Philosophen sind Liebhaber der Weisheit. Einige Liebhaber der Weisheit streben nach dem Guten. Daher streben einige Philosophen nach dem Guten."

Mengen: P={x/x ist Philosoph}, L={x/x ist Liebhaber der Weisheit}, G={x/x strebt nach dem Guten}

Formalisierung:

1. P ⊆ L (Philosophen sind Liebhaber der Weisheit)

2. L ∩ G ≠ Ø (Einige Liebhaber streben nach dem Guten)

Schlussfolgerung: P ∩ G ≠ Ø

Das Argument ist NICHT gültig. Dass einige Liebhaber der Weisheit nach dem Guten streben, garantiert nicht, dass diese die Philosophen sind. Es könnte Liebhaber der Weisheit geben, die nach dem Guten streben, aber keine Philosophen sind.

 

(5) Mengen vereinfachen:

Der Buchstabe "c" zeigt an, dass es sich um das Komplement handelt.

 

[Übung 36] (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)

(A ∩ B) ∩ (A ∩ Bᶜ)

= A ∩ (B ∩ Bᶜ) [Assoziativgesetz]

= A ∩ Ø [B ∩ Bᶜ = Ø]

= Ø

[Übung 37] (Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A

(Aᶜ ∩ B)ᶜ ∪ (B ∪ Aᶜ)ᶜ ∪ A

= (A ∪ Bᶜ) ∪ (Bᶜ ∩ A) ∪ A [De Morgan]

= (A ∪ Bᶜ) ∪ A [Absorption: (Bᶜ ∩ A) ⊆ A]

= A ∪ Bᶜ [Absorption: A ⊆ (A ∪ Bᶜ)]

= A ∪ Bᶜ

[Übung 38] (A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)

(A ∩ Bᶜ) ∩ (Aᶜ ∩ B)

= (A ∩ Aᶜ) ∩ (Bᶜ ∩ B) [Kommutativ- und Assoziativgesetz]

= Ø ∩ Ø

= Ø

[Übung 39] (A ∪ A) - (A ∩ B)

(A ∪ A) - (A ∩ B)

= A - (A ∩ B) [Idempotenz: A ∪ A = A]

= A ∩ (A ∩ B)ᶜ [Definition der Differenz]

= A ∩ (Aᶜ ∪ Bᶜ) [De Morgan]

= (A ∩ Aᶜ) ∪ (A ∩ Bᶜ) [Distributivgesetz]

= Ø ∪ (A ∩ Bᶜ)

= A ∩ Bᶜ (oder A - B)

[Übung 40] (A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)

(A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∪ Aᶜ)

= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)ᶜ [De Morgan: Bᶜ ∪ Aᶜ = (A ∩ B)ᶜ]

= U (Universum)

 

(6) Führe die folgenden Operationen mit der Kardinalität der folgenden Mengen durch:

 

Gegeben sei #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20. Führe die folgenden Operationen durch.

 

[Übung 41] Wenn A und B disjunkt sind, #(A ∪ B)

Wenn A ∩ B = Ø (disjunkt):

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)

#(A ∪ B) = 2 + 5 - 0 = 7

[Übung 42] Wenn C disjunkt zu (A ∩ B) ist und A={a,b} und B={b, c, d, f, g}, was ist die Kardinalität von #((A ∩ B) ∪ C)?

A ∩ B = {b}, daher #(A ∩ B) = 1

Da C disjunkt zu (A ∩ B) ist:

#((A ∩ B) ∪ C) = #(A ∩ B) + #(C) = 1 + 20 = 21

[Übung 43] Wenn A={a,b}, B={b, c, d, f, g} und C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, r, s, t, v}, was ist die Kardinalität von #((B ∩ C) ∪ A)?

B ∩ C = {b, c, d, f, g} (B ⊂ C), #(B ∩ C) = 5

A = {a, b}

(B ∩ C) ∪ A = {a, b, c, d, f, g}

#((B ∩ C) ∪ A) = 6

[Übung 44] Wenn alle Mengen disjunkt sind, berechne #((A ∪ B) - (A ∩ B))

Wenn A und B disjunkt sind: A ∩ B = Ø

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) = 2 + 5 = 7

(A ∪ B) - (A ∩ B) = (A ∪ B) - Ø = A ∪ B

#((A ∪ B) - (A ∩ B)) = 7

[Übung 45] Wenn C disjunkt ist und A und B zwei gemeinsame Elemente haben, berechne #([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A])

#(A ∩ B) = 2

C disjunkt zu A und B: B ∩ C = Ø, A ∩ C = Ø

(A ∩ B) ∪ C: hat 2 + 20 = 22 Elemente

(B ∩ C) ∪ A = Ø ∪ A = A, hat 2 Elemente

Da (A ∩ B) ⊆ A: [(A ∩ B) ∪ C] - A = C

#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A]) = #(C) = 20

[Übung 46] Angenommen, eine Bank hat eine Umfrage zur wirtschaftlichen Situation der spanischen Familien durchgeführt. Laut den Umfrageergebnissen zahlten 30% der Familien einen Hypothekenkredit, 40% zahlten einen Autokredit und 10% zahlten beide Kredite. Die Bank möchte wissen, welcher Prozentsatz der Familien weder Hypothekenkredite noch Autokredite zahlt.

H = Familien mit Hypothekenkredit, A = Familien mit Autokredit

#(H) = 30%, #(A) = 40%, #(H ∩ A) = 10%

#(H ∪ A) = #(H) + #(A) - #(H ∩ A) = 30 + 40 - 10 = 60%

Familien ohne Kredit: 100% - 60% = 40%

[Übung 47] (Übung ohne Aufgabenstellung)

Übung ohne Aufgabenstellung.

[Übung 48] Angenommen, bei einem Treffen gibt es 40 Personen, die eine der Sprachen Deutsch, Spanisch oder Englisch sprechen. Es ist bekannt, dass 22 Deutsch sprechen, 26 kein Englisch sprechen, 30 nur eine Sprache sprechen, 30 Englisch oder Deutsch sprechen, 7 Englisch aber kein Spanisch sprechen und 17 Deutsch aber kein Spanisch sprechen. Zu beantworten sind Fragen wie: Wie viele Personen sprechen alle drei Sprachen? Wie viele Personen sprechen nur Spanisch? Wie viele sprechen Spanisch, aber kein Englisch?

D = Deutsch, S = Spanisch, E = Englisch

Gesamt = 40, #(D) = 22, #(Eᶜ) = 26 → #(E) = 14

Nur eine Sprache = 30, #(E ∪ D) = 30

#(E - S) = 7, #(D - S) = 17

#(D ∪ E) = #(D) + #(E) - #(D ∩ E) → 30 = 22 + 14 - #(D ∩ E) → #(D ∩ E) = 6

Nur Spanisch = 40 - 30 = 10

Personen, die alle drei Sprachen sprechen: Mit Inklusion-Exklusion, #(D ∩ S ∩ E) = 4

Nur Spanisch: 10

Spanisch, aber kein Englisch: #(S) - #(S ∩ E) = 13

[Übung 49] Aus einer Umfrage geht hervor, dass einer von vier Spaniern Fußballfan ist und einer von zehn Basketballfan ist. Es liegen keine Daten darüber vor, wie viele Spanier beide Sportarten mögen. Unter diesen Umständen kann man nicht genau herausfinden, wie viele Spanier eine der beiden Sportarten mögen, aber es kann sichergestellt werden, dass der Prozentsatz der Spanier mit einer dieser Vorlieben 35% nicht übersteigt.

F = Fußballfans (25%), B = Basketballfans (10%)

#(F ∪ B) = #(F) + #(B) - #(F ∩ B)

Minimum von #(F ∩ B) = 0 (disjunkt)

Maximum von #(F ∪ B) = 25 + 10 - 0 = 35%

Bei einer Schnittmenge wäre der Prozentsatz kleiner als 35%.

[Übung 50] Wenn 80% der Schüler eines Kurses das Fach X bestehen und 70% das Fach Y bestehen, hat von je 100 Schülern die Menge A der in X Bestandenen die Kardinalität 80 und die Menge B der in Y Bestandenen die Kardinalität 70. Wie viele haben beide Fächer bestanden?

#(A) = 80, #(B) = 70, #(U) = 100

#(A ∪ B) ≤ 100

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)

100 ≥ 80 + 70 - #(A ∩ B)

#(A ∩ B) ≥ 150 - 100 = 50

Mindestens 50 Schüler haben beide Fächer bestanden.

Das Maximum wäre 70 (wenn alle aus B auch A bestanden haben).