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Lösen Sie die folgenden Übungen mit der von Gentzen vorgeschlagenen Methode der natürlichen Deduktion für die Prädikatenlogik mit Identität und Beschreibungen unter Anwendung der in der Beweistheorie dargelegten Grundregeln der Inferenz:
STUFE 1
| [Übung 25] | [Übung 26] | ||
-1.∀x(Px→ Qx) |
⊦Qb | 1. ∃x∀x(ιxPx=x ∧ y≠x) | ⊦Qa |
| -2. Pa | |||
| -3. b=a | |||
| 4. Pa → Qa | E∀1 | ||
| 5. Qa | E→2,4 | ||
| 6. ∀x(x=a →Qx) | I=5 | ||
| 7. b=a → Qb | E∀6 (x:b) | ||
| 8. Qb | E→3,7 | ||
STUFE 2
| [Übung 27] | [Übung 28] | |||
|
⊦(x)yz[(x≠y)∧(y=z) → (x≠z)] | -1. a=ιxPx | ⊦PιxPx | |
| ┌ | -1. (a≠b)∧(b=c) | -2.∀x(Qx→ ¬Px) | ||
| | | 2. (x)y((x≠y)∧(y=z) → (x≠z)] | L. Leibniz | ||
| | | 3. (a≠b)∧(c=b)→ a≠c | E∀2 (x:a; y:c) | ||
| | | 4. b=c | E^1 | ||
| | | 5. (x)y(x=y →y=x) | L. Sim = | ||
| | | 6. b=c → c=b | E∀5(x:b; y:c) | ||
| | | 7. c=b | E→6,4 | ||
| | | 8. a≠b | E^1 | ||
| | | 9. a≠b ∧ c=b | I^8,7 | ||
| | | 10. a ≠c | E→3,9 | ||
| ┗ | 11. (a≠b)∧(b=c)→ a≠c | I→1-10 | ||
| 12. (x)yz[(x≠y)∧(y=z) → (x≠z)] | i∀11(a:x, b:y, c:z) | |||
STUFE 3
| [Übung 29] | [Übung 30] | |||
1. ¬∃x∃y(x≠y) |
⊦∃xPx→∀xPx | -1.∀x(Sx→ Qx) | ⊦a≠ιxFx | |
| -2.∀x(¬Px→ ¬Qx) | ||||
| -3.SιxPx | ||||
| -4. ¬Pa | ||||
| ┌ | 5. a=ιxFx | |||
| | | 6. ∀x(x=ιxFx → Sx) | I=3 | ||
| | | 7. a=ιxFx → Sa | E∀6 | ||
| | | 8. Sa | E→5,7 | ||
| | | 9. Sa → Qa | E∀1 | ||
| | | 10.Qa | E→8,9 | ||
| | | 11. ¬Pa → ¬Qa | E∀2 | ||
| | | 12. ¬Qa | E→4,11 | ||
| ┗ | 13. Qa ∧ ¬Qa | I^10, 12 | ||
| 14. ¬(a=ιxFx) | I¬5-13 | |||