Passen Sie die gelösten Übungen an Ihr Fach an. Kostenlos registrieren
(6) Führe die folgenden Operationen mit der Kardinalität der folgenden Mengen durch:
Gegeben sei #(A)=2, #(B)=5, #(C)=20. Führe die folgenden Operationen durch.
1. [Übung 41]
Wenn (A ∩ B) disjunkt sind, #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
#(A ∩ B)= 2 + 5- 0
#(A ∩ B)= 7
2. [Übung 42]
Wenn C disjunkt zu (A ∩ B) ist und A={a,b} und B={b, c, d, f, g}, was ist die Kardinalität von # ((A ∩ B) ∪ C)?
3. [Übung 43]
Wenn A={a,b}, B={b, c, d, f, g} und C={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, r, s , t, v}, was ist die Kardinalität von
# ((B ∩ C) ∪ A) ?
B ⊂ C, daher ist die Kardinalität von #(B ∩ C) gleich der Kardinalität von #(C)
#(B ∩ C) = 20
A ⊂ C, daher #(B ∩ C) = #((B ∩ C) ∪ #(A))
#((B ∩ C) ∪ #(A))=20
4. [Übung 44] Wenn alle Mengen disjunkt sind, berechne
#((A∪ B) - (A ∩ B))
5. [Übung 45]
Wenn C disjunkt ist und A und B zwei gemeinsame Elemente haben, berechne
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])?
| (A ∩ B) ∪ C) | (B ∩ C) ∪ A |
|---|---|
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 A ⊂ B #(A ∩ B)= 5 #(A ∩ B) = 5 #((A ∩ B) ∪ C)= 25 |
#(A)=2, #(B)=5, #(C)=20 #((B ∩ C))= 25 #(A)=2 A ⊂ B #((B ∩ C) ∪ A)= 25 |
#([(A ∩ B) ∪ C] - [(B ∩ C) ∪ A)])= 25 - 25= 0 |
|
#([(A ∩ B) ∪ C)] - [(B ∩ C) ∪ A])= 0
Aufgaben zur Kardinalität von Mengen:
6. [Übung 46] Angenommen, eine Bank hat eine Umfrage zur wirtschaftlichen Situation der spanischen Familien durchgeführt. Laut den Umfrageergebnissen zahlten 30% der Familien einen Hypothekenkredit, 40% zahlten einen Autokredit und 10% zahlten beide Kredite. Die Bank möchte wissen, welcher Prozentsatz der Familien weder Hypothekenkredite noch Autokredite zahlt.
Lösung:
Proportional gesehen genügt es, über ein Universum von 100 Familien nachzudenken. Nennen wir A die Menge der Familien unter den 100, die einen Hypothekenkredit zahlen, und B die Menge der Familien, die einen Autokredit zahlen. Nach den Daten gehören von je 100 Familien 30 zu A und 40 zu B, daher #(A)=40 und #(B)=30, also #(A ∩ B)= 10. Die Familien, die einen der Kredite zahlen, sind dann:
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)
= 30 + 40 - 10
=60
und die, die keinen der beiden Kredite zahlen, sind
#((A ∪ B)c) = #(U) - #((A ∪ B))= 100 - 60= 40
7. [Übung 47]
8. [Übung 48] Angenommen, bei einem Treffen gibt es 40 Personen, die eine der Sprachen Deutsch, Spanisch oder Englisch sprechen. Es ist bekannt, dass 22 Deutsch sprechen, 26 kein Englisch sprechen, 30 nur eine Sprache sprechen, 30 Englisch oder Deutsch sprechen, 7 Englisch aber kein Spanisch sprechen und 17 Deutsch aber kein Spanisch sprechen. Zu beantworten sind Fragen wie: Wie viele Personen sprechen alle drei Sprachen? Wie viele Personen sprechen nur Spanisch? Wie viele sprechen Spanisch, aber kein Englisch?
Lösung:
Nennen wir A, B und C die Mengen der Personen, die Deutsch, Spanisch bzw. Englisch sprechen. Alle Beziehungen zwischen diesen Mengen können wir in einem Venn-Diagramm darstellen:
Wenn wir die in der Aufgabenstellung genannten Daten formalisieren, erhalten wir die folgenden Daten:
| Nummer | Aussage | Formalisierung | Kardinalität | Menge |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Personen insgesamt | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VI) +#(VII) = | 40 |
| 2 | Sprechen Deutsch | A ∩ B ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(V)= | 22 |
| 3 | Sprechen kein Englisch | A ∩ Bc ∩ C | #(II) +#(V) +#(VI)= | 26 |
| 4 | Sprechen nur eine Sprache | Ac ∩ B ∩ C | #(V) +#(VI)+#(VII)= | 30 |
| 5 | Sprechen Englisch oder Deutsch | A ∩ Bc ∩ Cc | #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = | 30 |
| 6 | Sprechen Englisch, aber kein Spanisch | Ac ∩ B ∩ Cc | #(III) + #(VII) = | 7 |
| 7 | Sprechen Deutsch, aber kein Spanisch | Ac∩ Bc ∩ Cc | #(III) + #(V) = | 17 |
Wie viele Personen sprechen nur Spanisch?
Diese Frage zu beantworten ist einfach. (2) sind diejenigen, die Englisch oder Deutsch sprechen. Wenn wir (2) von der Gesamtzahl der Personen (1) abziehen, erhalten wir die Anzahl der Personen, die nur Spanisch sprechen.
(1)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) + #(VI) #(VII) =40
(2)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(VI)=#(1)-#(2)
#(VI)=10
Die Personen, die nur Spanisch sprechen, sind 10.
Wie viele Personen sprechen alle drei Sprachen?
Um diese Zahl zu ermitteln, sind weitere Operationen erforderlich... Betrachten wir die Anzahl der Personen, die nur eine Sprache sprechen (4)
#(4)= #(V) + #(VI) +#(VII) = 30
#(VI)= 10
#(V) + #(VII) = 20
Wir wissen, dass 10 Personen nur Spanisch sprechen. Daher können wir ableiten, dass 20 Personen entweder Englisch oder Deutsch sprechen.
Nun werden wir die Anzahl der Personen ermitteln, die Englisch, aber kein Spanisch sprechen, und die Anzahl der Personen, die Deutsch, aber kein Spanisch sprechen. Mit diesem Datum und unserem Wissen über die Anzahl der Sprecher, die nur Englisch oder nur Deutsch sprechen, werden wir diejenigen ableiten, die Spanisch und Englisch sprechen:
#(6) +#(7)= 2x#(III) +#(V) + #(VII)=24
#(V)+#(VII)=20
2x#(III)=4
#(III)=2
Wir wissen jetzt, dass die Anzahl der Personen, die Spanisch und Deutsch sprechen, 4 (#III) beträgt. Nun ist es einfach, diejenigen abzuleiten, die nur Englisch und diejenigen, die nur Deutsch sprechen.
#(6)= #(III) +#(VII)=7
#(III)=2
#(VII)=5
3 Personen sprechen nur Englisch (#VII).
#(7)= #(III) + #(V)=17
#(III)=2
#(V)=15
15 sind diejenigen, die Deutsch sprechen.
Mit dem Wissen über diejenigen, die kein Englisch sprechen #(2), diejenigen, die Deutsch sprechen #(V), und diejenigen, die nur Spanisch sprechen #(VI), können wir diejenigen ableiten, die Deutsch und Spanisch sprechen #(II).
#(3)=#(II) + #(V) +#(VI)=26
#(V)= 15
#(VI)= 10
Daher #(II)=1
Da wir diejenigen kennen, die Deutsch sprechen #(2), diejenigen, die Deutsch und Spanisch sprechen #(II), diejenigen, die Englisch und Deutsch sprechen #(III), und schließlich diejenigen, die nur Deutsch sprechen #(V), können wir endgültig die Anzahl der Personen ableiten, die alle drei Sprachen sprechen.
#(2)=#(I)+#(II)+#(III)+#(V)=22
#(II)=1
#(III)=2
#(V)=15
Daher #(I)= 4
Wie viele Personen sprechen Spanisch, aber kein Englisch?
Zuerst werden wir den Wert von #(IV) mit den verfügbaren Daten und mit #(5) ableiten:
#(5)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30
#(I)= 4
#(II)= 1
#(III)= 2
#(V) = 15
#(VII)= 5
Daher #(IV)= 3
und mit diesem Datum leiten wir durch diese Operation die Anzahl der Spanischsprechenden ab, die kein Englisch können:
#(IV) + #(VI)=
#(IV)=3
#(VI)=10
15
Die Anzahl der Spanischsprechenden, die kein Englisch können, beträgt 15.
Übung gelöst!
9. [Übung 49] Aus einer Umfrage geht hervor, dass einer von vier Spaniern Fußballfan ist und einer von zehn Basketballfan ist. Es liegen keine Daten darüber vor, wie viele Spanier beide Sportarten mögen. Unter diesen Umständen kann man nicht genau herausfinden, wie viele Spanier eine der beiden Sportarten mögen, aber der Prozentsatz der Spanier mit einer dieser Vorlieben wird nicht höher sein als die Summe der Fußball- und Basketballfans. Da von je 100 Spaniern 25 Fußballfans und 10 Basketballfans sind, kann sichergestellt werden, dass der Prozentsatz der Spanier mit einer dieser Vorlieben 35% nicht übersteigt.
10. [Übung 50] Wenn 80% der Schüler eines Kurses das Fach X bestehen und 70% das Fach Y bestehen, hat von je 100 Schülern die Menge A der in X Bestandenen die Kardinalität 80 und die Menge B der in Y Bestandenen die Kardinalität 70. Wie viele haben beide Fächer bestanden?
Lösung:
#(A ∩ B) ≥ #(A) +#(B) -#(U)= 80 + 70 -100=50
Daher haben mindestens 50% der Schüler beide Fächer bestanden.
Zurück