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Problemas de lógica matemática resueltos para practicar el ingenio
(0) Problemas de lógica matemática que debes demostrar mediante algún método lógico
[0.1] Roque, un barbero de Batuecas, afeita a todos los habitantes que no se afeitan a sí mismos y sólo a ellos. ¿Porqué esto es imposible?
RESPUESTA INTUITIVA:
Supongamos que Roque se afeita a sí mismo: en ese caso dado que es habitante de Batuecas, no debería afeitarse a sí mismo. Pero lo cierto es que se afeita.
Ahora, supongamos que Roque no se afeita a sí mismo: Pues bien, en ese caso Roque se afeita a sí mismo por esa misma razón.
RESPUESTA MATEMÁTICA:
Esto demuestra que estas premisas llevan a una contradicción, es decir, que Roque se corta y no se corta el pelo a sí mismo. Dado que estas dos premisas nos llevan a una contradicción podemos afirmar que ambas premisas son inconsistentes. ¡Imposible!
[0.2] Un periodista entrevista a un anciano centenario y éste le revela el secreto de su longevidad: "Si no bebo cerveza, entonces como pescado" y "No como pescado, si tomo helado o no bebo cerveza". ¿Es posible llevar un regimen así? ¿Cuál es el ingrediente secreto?
Formalización:
"Si no bebo cerveza, entonces como pescado" = ¬p → q
"No como pescado, si tomo helado o no bebo cerveza" = r ∨ ¬p → ¬q
Tres alternativas en su dieta:
1. Cerveza y nada de helado.
2. Cerveza y nada de pescado
3. Cerveza, pescado y nada de helado.
El ingrediente de la longuevidad es ¡La cerveza!
[0.3] Al lógico Caferino le preguntaron: ¿Amas a Queta, a Petra o a Rosana? El pensó: "Amo al menos a una de las tres. Si amo a Petra, pero no a Queta, entonces amo a Rosana. O bien amo a Queta o a Rosana, o no amo a ninguna de las tres. Si amo a Queta, también amo a Petra." ¿A quien ama el lógico Caferino?
Formalización:
1. p ∨ q ∨ r (Amo al menos a una de las tres)
2. (p ∧ ¬q → r) (Si amo a Petra, pero no a Queta, entonces amo a Rosana)
3. [(q ∨ r) ∧ ¬(q∧r)) ∨ ¬(p ∨ q ∨ r)] (O bien amo a Queta o a Rosana, o no amo a ninguna)
4. q → p (Si amo a Queta, también amo a Petra)
Tres soluciones:
1. Ama a Petra y Queta, pero no Rosana.
2. Ama a Petra y a Rosana, pero no Queta.
3. Sólo ama a Rosana.
[0.4] Una sombrera contiene 5 gorros (3 blancos y 2 negros). 3 lógicos se vendan los ojos y se ponen un sombrero. El primero dice "No sé de qué color es mi sombrero". El segundo dice "Yo tampoco". El tercero, sin quitarse la venda, afirma "El mío es blanco". ¿Cómo lo dedujo?
Si A lo sabe entonces B y C lo tienen negro. Por tanto, si no lo saben, al menos uno lo tiene blanco.
Eso significa que si C lo tiene negro entonces B lo tiene Blanco. B lo sabe.
B al mirar a C y no lo sabe. Si B lo supiera, entonces C lo hubiera tenido negro.
C sabe que A y B no lo saben, por tanto, sabe que el suyo es blanco.
(1) Problemas de lógica matemática mediante tablas de verdad
[1.1] Un asesor de imagen debe asesorar a una clienta sobre accesorios para una boda. Tiene: pendientes azules, collar de perlas, pulsera negra, pendientes rojos, cinturón marrón, collar rojo. Quiere llevar exactamente 2 complementos. (a) ¿Cuántas combinaciones sin restringir? (b) ¿Combinaciones con uno rojo y otro negro? (c) ¿Combinaciones con máximo 2? (d) ¿Combinaciones con rojos y otros, solo 2 accesorios?
a=pendientes azules, b=collar de perlas, c=pulsera negra, d=pendientes rojos, f=cinturón marrón, g=collar rojo
(1) 2 elevado a la 6 = 64 opciones de combinar sus complementos.
(2) Dos accesorios: uno rojo y otro negro; y como máximo dos complementos.
Solución: (d ∧ c) ∨ (g ∧ c) = (d ∨ g) ∧ c
(3) 15 combinaciones posibles.
(4) 20 combinaciones posibles.
[1.2] Un hacker necesita determinar cuatro valores booleanos (1 o 0) para superar un sistema de seguridad. Ha decidido aplicar fuerza bruta. ¿Podrías representar en una tabla de verdad todas las posibles combinaciones?
Siendo 4 valores booleanos (p, q, r, s), el número total de combinaciones posibles es:
2^4 = 16 combinaciones posibles
Se puede representar en una tabla de verdad con 16 filas, una para cada combinación de valores 0 y 1 para las cuatro variables.
[1.3] Un coreógrafo enumera las maneras en que un bailarín puede sujetar a una bailarina: espalda, brazo izquierdo, brazo derecho, cuello o pierna izquierda. (a) Sin limitación física, ¿cuántas combinaciones? (b) Solo 2 lugares, con restricciones: no ambos brazos, y si cuello debe sujetar de otro lugar.
(a) Sin limitación física: 2^5 = 32 combinaciones posibles (5 lugares del cuerpo)
(b) Sólo puede sujetarla de dos lugares a la vez:
Combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2 = C(5,2) = 10 combinaciones
Con las restricciones adicionales:
- Si la coge de un brazo, no sujetarla con el otro brazo
- Si la sujeta del cuello, debe sujetarla de algún otro lugar
Se reducen las combinaciones eliminando las que violan estas reglas.
[1.4] En una parada de autobús no recordamos cuál nos lleva a casa. Solo operan las líneas 34, 43, 23. El 34 no conecta con ninguna línea ni hace transbordo, pero recuerdas que la última vez hiciste transbordo. ¿Cuántas posibilidades lógicas existen de perderte?
Variables: p=línea 34, q=línea 43, r=línea 23
Restricción: El 34 no conecta con ninguna línea ni hace transbordo.
Recordamos que la última vez hicimos transbordo, por tanto el 34 no es la correcta.
Con esta información, las posibilidades de perderse dependen de elegir entre 43 o 23.
Posibilidades lógicas de perderse: 2 opciones posibles (elegir 43 o 23 incorrectamente)
[1.5] En un examen de conducir: "Se considera conductor a la persona... (a) Que conduce un ciclomotor de dos ruedas. (b) Que maneja un volante cuando circula en prácticas. (c) Que maneja el mecanismo de dirección o va al mando del vehículo." ¿Cuál tiene más interpretaciones verdaderas?
Analizando cada opción:
a) "Conduce un ciclomotor de dos ruedas" - condición específica
b) "Maneja un volante de un vehículo cuando circula en prácticas" - condición específica
c) "Maneja el mecanismo de dirección o va al mando del vehículo" - condición disyuntiva
La opción c) tiene más interpretaciones verdaderas porque es una disyunción (v), que es verdadera cuando al menos una de las dos partes es verdadera.
En una tabla de verdad, la disyunción tiene 3 casos verdaderos de 4 posibles, mientras que las otras opciones son más restrictivas.