Adapta los ejercicios resueltos a tu asignatura. Regístrate gratis

(1) Realiza la siguiente formalización de estas proposiciones compuestas del lenguaje natural en lógica de proposiciones:

 

[1] Llueve y hace frío.

p ∧ q

[2] No llueve y hace frío.

¬p ∧ q

[3] Llueve o hace frío.

p ∨ q

[4] O bien, llueve, o bien, hace frío.

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

[5] Llueve y hace frío, o nieva.

(p ∧ q) ∨ r

[6] No es verdad que llueva y haga frío.

¬(p ∧ q)

[7] No es verdad que no llueva y no haga frío.

¬(¬p ∧ ¬q)

[8] Si llueve, hace frío.

p → q

[9] Si llueve, entonces si hace frío, nevará.

p → (q → r)

[10] No es verdad que si llueve y nieva o hace frío, tenga que hacer frío.

¬[(p ∧ r) ∨ q → q]

 

(2) Realiza la formalización de estas proposiciones compuestas del lenguaje natural en lógica de proposiciones:

 

[11] Es rubio y tiene los ojos azules o es alto.

(p ∧ q) ∨ r

[12] No es verdad que sea rubio y tenga ojos azules.

¬(p ∧ q)

[13] No es rubio y no tiene los ojos azules.

¬p ∧ ¬q

[14] Cuando llueve la tierra se moja.

p → q

[15] Como el perro vuelva a ladrar, le muerdo.

p → q

[16] Continúa agitando el vaso y el agua se derramará.

p → q

[17] Come y calla.

p ∧ q

[18] Había trozos de metal, periódicos, restos de comida.

p ∧ q ∧ r

[19] La luna es indiferente a nuestros versos, si no lo fuera se hubiera ido hace mucho tiempo.

p ∧ (¬p → q)

[20] Que llueva no implica que la tierra se moje.

¬(p → q)

[21] Cuando llueve la tierra se moja, pero no es verdad que se moje solo cuando llueve.

(p → q) ∧ ¬(q → p)

[22] Si como mucho, engordo. Y si engordo me siento mal.

p → q, q → r

[23] Si estudio, me entra sueño. Si me entra sueño, duermo. Si duermo, me levanto nervioso por no haber estudiado. Si me levanto nervioso por no haber estudiado, entonces estudio. Luego, me entra sueño.

Variables:

p = Estudio

q = Me entra sueño

r = Duermo

s = Me levanto nervioso

 

Formalización:

p → q, q → r, r → (¬p ∧ s), (¬p ∧ s) → p ⊦ q

[24] Si el rey de Argentina es calvo, entonces hay un rey de Argentina. Si el rey de Argentina no es calvo, entonces hay un rey de Argentina. No hay un rey de Argentina. Por tanto, el rey de Argentina es calvo si y sólo si el rey de Argentina no es calvo.

p → q, ¬p → q, ¬q ⊦ p ↔ ¬p

[25] Si el mal existe en el mundo y no se origina en las acciones de los seres humanos, entonces Dios no puede o no quiere impedirlo. El mal existe en el mundo. Si Dios no puede impedir que haya mal en este mundo, entonces no es omnipotente. Si Dios no quiere impedir la existencia del mal, entonces no es bondadoso. Pero Dios es omnipotente y bondadoso. Por tanto, el mal que existe en este mundo tiene su origen en las acciones del ser humano.

p ∧ ¬q → (¬r ∨ ¬s), p, ¬r → ¬t, ¬s → ¬w, t ∧ w ⊦ q

 

(3) Formaliza las siguientes oraciones hipotéticas de manera correcta conforme a la lógica proposicional:

 

[26] Si quieres un perro, entonces debes tener tiempo.

p → q

[27] Sólo si no llevas zapatillas, podrás entrar en la discoteca.

q → ¬p

"Sólo si" indica que la condición es necesaria, no suficiente.

[28] Puedes venir a mi casa siempre que quieras.

p → q

"Siempre que" equivale a "si".

[29] Es suficiente sacar un 5 para entrar en la universidad.

p → q

"Es suficiente" indica condición suficiente.

[30] Es necesario presentarse al examen para entrar en la universidad.

q → p

"Es necesario" indica condición necesaria.

[31] Para tener amigos, debes tener salud, dinero, fama y carisma.

p → (q ∧ r ∧ s ∧ t)

[32] A menos que impidas el homicidio, el agente conseguirá su cometido.

¬p → q

"A menos que" equivale a "si no".

[33] A no ser que compres mucha comida, pronto se terminará.

¬p → q

"A no ser que" equivale a "si no".

[34] Sólo lograrás el éxito, si tienes las mejores notas.

p → q

[35] Cuando apruebes, todo será maravilloso.

p → q

[36] Adrián es profesor de lógica única y exclusivamente si tiene un título.

p ↔ q

"Única y exclusivamente si" indica bicondicional.

[37] En caso de que te gusten los ejercicios, contratarás al profesor.

p → q

[38] Basta que llegue Juan, para arruinar la fiesta.

p → q

"Basta que" indica condición suficiente.

[39] Es imprescindible la compañía de Pablo para que la noche esté completa.

q → p

"Es imprescindible" indica condición necesaria.

[40] Cuando uno hace lo que puede, no está obligado a hacer más.

p → ¬q

 

(4) Formaliza los siguientes argumentos con disyunción mediante lógica proposicional:

 

[41] O te compras una PlayStation o una Nintendo.

p ∨ q

Disyunción inclusiva.

[42] O apruebas o suspendes.

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

Disyunción exclusiva: no puedes aprobar y suspender a la vez.

[43] O bien, está soltero, o bien, no lo está.

p ∨ ¬p

Tautología: principio del tercero excluido.

[44] Se busca a alguien que tenga dominio de inglés o alemán.

p ∨ q

Disyunción inclusiva: puede saber ambos idiomas.

[45] O bien es una proposición analítica o bien una proposición sintética.

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

Disyunción exclusiva: una proposición no puede ser ambas.

 

(5) Realiza la formalización de los siguientes argumentos con lógica de predicados mediante cuantificación simple:

 

[46] Todo el mundo es mortal. Luego nadie es inmortal.

∀xMx ⊦ ¬∃x¬Mx

[47] Los países del tercer mundo no están industrializados. Algunos países del tercer mundo poseen grandes riquezas. Por tanto, hay países del tercer mundo que poseen grandes riquezas y no están industrializados.

∀x(Px ∧ Tx → ¬Ix), ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx) ⊦ ∃x(Px ∧ Tx ∧ Gx ∧ ¬Ix)

[48] Ningún deportista que aspire a participar en las olimpiadas ingiere bebidas alcohólicas. Hay deportistas que ingieren bebidas alcohólicas. Por tanto, algunos deportistas no participan en las olimpiadas.

∀x(Dx ∧ Ax → ¬Ix), ∃x(Dx ∧ Ix) ⊦ ∃x(Dx ∧ ¬Ax)

[49] Los médicos y los ingenieros son profesionales. Los profesionales y los directivos son respetados. Luego, los médicos son respetados.

∀x(Mx ∨ Ix → Px), ∀x(Px ∨ Dx → Rx) ⊦ ∀x(Mx → Rx)

[50] Existen hombres inteligentes. Luego, no es el caso que ningún hombre sea inteligente.

∃x(Hx ∧ Ix) ⊦ ¬∀x(Hx → ¬Ix)

[51] Los filósofos y sólo ellos son inteligentes. Por tanto, los que no son filósofos no son inteligentes.

¬∃x(¬Fx ∧ Ix) ⊦ ∀x(¬Fx → ¬Ix)

[52] Ningún ser perfecto es inmoral. Cualquier individuo que no valore la honestidad intelectual es imperfecto. Ningún individuo moral que valore la honestidad intelectual puede condenar el agnosticismo. De lo que se sigue que si Dios es perfecto no puede condenar el agnosticismo.

∀x(Px → Mx), ∀x(¬Hx → ¬Px), ∀x(Mx ∧ Hx → ¬Cx) ⊦ Pd → ¬Cd

[53] Las proposiciones matemáticas son necesarias. Sólo las proposiciones sintéticas tienen contenido. No hay proposiciones sintéticas a priori. Toda proposición es o bien a priori o bien a posteriori. Por tanto, las proposiciones de la matemática son sintéticas a posteriori.

∀x(Mx → Nx), ¬∃x(¬Sx ∧ Cx), ¬∃x(Sx ∧ Ax), ∀x[Ax ∨ Bx ∧ ¬(Ax ∧ Bx)] ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Bx)

[54] Las proposiciones matemáticas son necesarias. Las proposiciones a posteriori no son necesarias. Las proposiciones matemáticas tienen contenido. Sólo las proposiciones que tienen contenido son sintéticas. Por tanto, las proposiciones matemáticas son sintéticas a priori.

∀x(Mx → Nx), ∀x(Bx → ¬Nx), ∀x(Mx → Cx), ¬∃x(¬Cx ∧ Sx) ⊦ ∀x(Mx → Sx ∧ Ax)

 

(6) Realiza la formalización de los siguientes argumentos con lógica de predicados mediante cuantificación múltiple:

 

[55] Si Watson puede atrapar a Moriarty, Holmes puede. Holmes no puede. Por tanto, tampoco Watson.

Awm → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬Awm

[56] Sólo Holmes puede atrapar a Moriarty. Holmes no puede. Luego, nadie puede.

∀x(Axm → Ahm), ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)

[57] Si alguien puede atrapar a Moriarty, entonces Holmes puede. Holmes no puede. Luego no existe nadie que pueda atraparlo.

∃x(Axm) → Ahm, ¬Ahm ⊦ ¬∃x(Axm)

[58] Todo el mundo está relacionado con todo el mundo. Por tanto, todo el mundo está relacionado consigo mismo.

∀x∀y(Rxy) ⊦ ∀x(Rxx)

[59] Todo chico es más joven que su padre. Carlos es un chico que no es más joven que Luis. Quien quiera que esté casado con María es el padre de Carlos. Por tanto, Luis no está casado con María.

∀x(Cx → Jxf(x)), Cc ∧ ¬Jcl, ∀x(Mxm → x = f(c)) ⊦ ¬Mlm

[60] Todo empirista admira a Hume. Algunos idealistas no estiman a nadie que admire a Hume. En consecuencia, algunos idealistas no estiman a ningún empirista.

∀x(Ex → Axh), ∃x(Ix ∧ ∀y(Ayh → ¬Exy)) ⊦ ∃x(Ix ∧ ∀y(Ey → ¬Exy))

[61] Hay un hombre a quien todos los hombres admiran. Por tanto, hay al menos un hombre que se admira a sí mismo.

∃x(Hx ∧ ∀y(Hy → Ayx)) ⊦ ∃x(Hx ∧ Axx)

[62] Los coroneles mandan sobre los sargentos y los sargentos sobre los soldados. Todo el que es mandado por otro recibe órdenes de él. Cualquiera que manda a uno que a su vez manda a un tercero, manda a ese tercero. P es Coronel, H es Sargento y B es soldado. Por tanto, B recibe órdenes de P.

∀x∀y(Cx ∧ Sy → Mxy), ∀x∀y(Sx ∧ Dy → Mxy), ∀x∀y(Mxy → Ryx), ∀x∀y∀z(Mxy ∧ Myz → Mxz), Cp, Sh, Db ⊦ Rbp

[63] Es un delincuente quien vende una pistola que no está registrada. Todas las armas que posee Juan fueron compradas por él en la tienda de Luis o en la de José. Así, si una de las armas de Juan es una pistola que no está registrada, entonces, si Juan no ha comprado nunca nada en la tienda de José, Luis es un delincuente.

∀x∀y(Vxy ∧ Py ∧ ¬Ry → Dx), ∀x(Ajx → Cxl ∨ Cxj) ⊦ ∃x(Ajx ∧ Px ∧ ¬Rx) → (¬∃x(Cxj) → Dl)

[64] Cualquiera que lea a Freud lo interpretará erróneamente a menos que tenga formación psiquiátrica. Todo el que lee a Freud y lo interpreta erróneamente contribuye a su propia enfermedad mental. Una persona inmadura es incapaz de interpretar correctamente a Freud. No todo el que lee a Freud y tiene formación psiquiátrica es una persona madura. Por tanto, hay personas con formación psiquiátrica que contribuyen a su propia enfermedad mental.

∀x(Lxf ∧ ¬Px → Ix), ∀x(Lxf ∧ Ix → Cx), ∀x(¬Mx → Ix), ¬∀x(Lxf ∧ Px → Mx) ⊦ ∃x(Px ∧ Cx)

 

(7) Realiza la formalización de estas proposiciones compuestas con lógica de predicados con functores e identidad:

 

[65] El padre de Pedro es Luis.

f(p) = l

Donde f(x) = "el padre de x"

[66] El padre de Pedro es árbitro de fútbol.

Af(p)

Donde f(x) = "el padre de x", A = "es árbitro de fútbol"

[67] La suma de dos y tres es un número primo.

Ps(2,3)

Donde s(x,y) = "la suma de x e y", P = "es número primo"

[68] Hay al menos dos números naturales cuya suma es igual a seis.

∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,y) = 6)

[69] Hay al menos dos números naturales tales que su suma consigo misma es igual a su producto consigo mismo.

∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ s(x,x) = p(x,x) ∧ s(y,y) = p(y,y))

[70] Para todo número natural, el producto de ese número consigo mismo es igual al cuadrado de ese número.

∀x(Nx → p(x,x) = c(x))

Donde p(x,y) = "producto de x e y", c(x) = "cuadrado de x"

[71] El cuadrado de tres es par.

Pc(3)

Donde c(x) = "cuadrado de x", P = "es par"

[72] El producto de tres por cuatro es múltiplo de dos.

Mp(3,4)2

Donde M = "es múltiplo de"

[73] El producto de dos por cualquier número natural es par.

∀x(Nx → Pp(2,x))

[74] No es cierto que el tres sea divisor del cubo de todo número natural impar.

¬∀x(Nx ∧ Ix → D3cb(x))

Donde cb(x) = "cubo de x", D = "es divisor de", I = "es impar"

 

(8) Realiza la formalización de las proposiciones compuestas que aparecen a continuación con lógica de predicados con functores, descriptores e identidad:

 

[75] El cubo de dos es igual al producto de dos por cuatro.

cb(2) = p(2,4)

[76] Existen dos números naturales tales que su producto es igual a cinco.

∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ p(x,y) = 5)

[77] No existen dos números naturales tales que su producto es igual a cinco.

¬∃x∃y(Nx ∧ Ny ∧ x ≠ y ∧ p(x,y) = 5)

[78] Existe un número natural cuyo cuadrado es el cubo de cuatro.

∃x(Nx ∧ c(x) = cb(4))

[79] Existe un número natural cuyo cubo es divisor de cualquier número natural impar.

∃x(Nx ∧ ∀y(Ny ∧ Iy → Dcb(x)y))

[80] El autor del Capital es Marx.

ιx(Axc) = m

Donde ι es el descriptor definido

[81] El escritor de la República es Platón.

ιx(Exr) = p

[82] El autor del Alquimista es escritor.

Eιx(Axa)

[83] El profesor de lógica de la facultad zaragozana de ciencias estudió filosofía.

Fιx(Pxlz)

Donde P = "es profesor de lógica en", F = "estudió filosofía"

[84] El director de Adrián es un excelente investigador.

Iιx(Dxa)

Donde D = "es director de", I = "es excelente investigador"

 

(9) Realiza la siguiente formalización de las proposiciones compuestas que aparecen a continuación con lógica de predicados con cuantificación numérica:

 

[85] Hay como mínimo un Dios.

∃xDx

[86] Hay como mínimo dos Dioses.

∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)

[87] Hay como máximo un Dios.

∀x∀y(Dx ∧ Dy → x = y)

O equivalentemente: ¬∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y)

[88] Hay como máximo dos Dioses.

∀x∀y∀z(Dx ∧ Dy ∧ Dz → x = y ∨ x = z ∨ y = z)

[89] Hay exactamente un Dios.

∃x(Dx ∧ ∀y(Dy → x = y))

Al menos uno y como máximo uno.

[90] Hay exactamente dos Dioses.

∃x∃y(Dx ∧ Dy ∧ x ≠ y ∧ ∀z(Dz → z = x ∨ z = y))

[91] Algún filósofo domestica exactamente a un tigre.

∃x(Fx ∧ ∃y(Ty ∧ Dxy ∧ ∀z(Tz ∧ Dxz → z = y)))

[92] Un tigre es domesticado por exactamente un filósofo.

∃x(Tx ∧ ∃y(Fy ∧ Dyx ∧ ∀z(Fz ∧ Dzx → z = y)))

[93] Al menos dos jueces de línea que usan como máximo un banderín.

∃x∃y(Jx ∧ Jy ∧ x ≠ y ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uxz ∧ Uxw → z = w) ∧ ∀z∀w(Bz ∧ Bw ∧ Uyz ∧ Uyw → z = w))

[94] Exactamente dos jueces de línea usan exactamente el mismo banderín.

∃x∃y∃z(Jx ∧ Jy ∧ Bz ∧ x ≠ y ∧ Uxz ∧ Uyz ∧ ∀w(Jw ∧ Uwz → w = x ∨ w = y))

 

(10) Realiza la formalización de los siguientes argumentos con lógica de predicados:

 

[95] Un extravagante profesor de una universidad fijó sus horas de tutoría de 6 a 7 de la mañana, bajo el siguiente razonamiento: "Los estudiantes que necesiten hablar conmigo vendrán a mi despacho incluso a esa hora, pero los que no lo necesiten no vendrán. Así pues, un estudiante vendrá a mi despacho si y sólo si necesita hablar conmigo."

∀x(Ex ∧ Nxa → Dxa), ∀x(Ex ∧ ¬Nxa → ¬Dxa) ⊦ ∀x(Ex → (Dxa ↔ Nxa))

[96] Cuando, en su viaje por el mundo de las maravillas, Alicia se dirige al gato, que de repente ha aparecido en lo alto de un árbol, y le pregunta por una dirección el gato le dice: "Aquí todos estamos locos: tú estás loca, yo estoy loco." "¿Cómo sabes que tú estás loco?" respondió Alicia. "Para empezar -dijo el gato- un perro no está loco. ¿Estás de acuerdo?... Bien, entonces -continuó el gato- un perro gruñe cuando está enfadado, y mueve la cola cuando está contento. Ahora bien, yo gruño cuando estoy contento y muevo la cola cuando estoy enfadado. Por lo tanto, yo estoy loco."

Variables:

Px = x es perro, Lx = x está loco, Gx = x gruñe, Mx = x mueve la cola, Ex = x está enfadado, Cx = x está contento, g = el gato

 

Formalización:

∀x(Px → ¬Lx), ∀x(Px ∧ Ex → Gx), ∀x(Px ∧ Cx → Mx), Cg → Gg, Eg → Mg ⊦ Lg

[97] Existe una isla poblada exclusivamente por "caballeros" y "escuderos". Lo único que diferencia a unos de otros es que los primeros siempre dicen la verdad y los segundos mienten siempre. En una ocasión en que tres de los habitantes -A, B, C- se encontraron en el jardín, un extranjero que por allí pasaba le preguntó a A "¿Eres caballero o escudero?" A respondió pero tan confusamente que no pudo escuchar lo que decía. Entonces el extranjero le preguntó a B "¿Qué ha dicho?" y B le respondió que "A ha dicho que es escudero". Pero al instante el tercer hombre C replicó: "No creas a B, que está mintiendo."

Análisis:

- Si A es caballero, dice la verdad, así que diría "soy caballero".

- Si A es escudero, miente, así que también diría "soy caballero".

- Por tanto, A dijo "soy caballero".

- B dice que A dijo "soy escudero", lo cual es falso. Luego B es escudero.

- C dice que B miente, lo cual es verdad. Luego C es caballero.

 

Conclusión: B es escudero, C es caballero. No se puede determinar qué es A.

[98] Durante la presentación del sumario relativo a un importante robo ocurrido en Londres, el inspector Craig preguntó a su ayudante, el sargento McPherson: "¿Qué haría usted con estos hechos?": (1) Si A es culpable y B inocente, entonces C es culpable. (2) C no trabaja nunca solo. (3) A no trabaja nunca con C. (4) Nadie distinto de A, B, C estaba implicado, y al menos uno de ellos es culpable.

Formalización:

1. (Ca ∧ ¬Cb) → Cc

2. Cc → (Ca ∨ Cb)

3. ¬(Ca ∧ Cc)

4. Ca ∨ Cb ∨ Cc

 

Análisis:

De (3): Si C es culpable, A es inocente.

De (2): Si C es culpable, A o B es culpable. Con (3), B debe ser culpable.

De (1): Si A culpable y B inocente → C culpable. Con (3), esto fuerza: si A culpable, B culpable.

 

Conclusión: B es culpable. A puede o no ser culpable. Si A es culpable, B también lo es.

[99] El Sr. McGregor, un comerciante londinense, telefoneó a Scotland Yard para decir que su tienda había sido robada. Se detuvo a tres sospechosos -A, B, C- para ser interrogados y se establecieron los siguientes hechos: (1) Cada uno de los tres hombres había estado en la tienda el día del robo, y nadie más había estado en la tienda. (2) Si A era culpable, entonces tenía un cómplice, y sólo uno. (3) Si B era inocente, también lo era C. (4) Si dos y sólo dos son culpables, entonces A es uno de ellos. (5) Si C es inocente, también lo es B. ¿A quién inculpó el inspector Craig?

Formalización:

1. Todos estaban en la tienda, nadie más implicado.

2. Ca → [(Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Cc ∧ ¬Cb)]

3. ¬Cb → ¬Cc

4. [(Ca ∧ Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Ca ∧ ¬Cb ∧ Cc) ∨ (¬Ca ∧ Cb ∧ Cc)] → Ca

5. ¬Cc → ¬Cb

 

Análisis:

De (3) y (5): B es inocente ↔ C es inocente. Son ambos culpables o ambos inocentes.

De (2): Si A es culpable, tiene exactamente un cómplice. Pero B y C van juntos.

Por tanto: A es inocente. B y C son culpables.

 

Conclusión: El inspector Craig inculpó a B y C.