Gentzen : Ejercicios resueltos de deducción natural para poner en prácticas las reglas de inferencia:

 

Resuelva los siguientes ejercicios mediante el método de deducción natural propuesto por Gentzen para lógica de predicados aplicando las reglas básicas de inferencia expuestas en la teoría de la demostración:

NIVEL 1

[Ejercicio 13]		[Ejercicio 14]
-1.∀x(Px→ Qx)	⊦∃xQx	-1.∀xPx^∀xQx	⊦∀x(Px^Qx)
-2. Pa
3. Pa → Qa	E∀1 (x:a)
4. Qa	E→ 2,3
5. ∃xQx	I∃4

NIVEL 2

[Ejercicio 15]		[Ejercicio 16]
-1.∀xPx v ∀xQx	⊦∀x(Px^Qx)	-1.∀x∀y∀z((Rxy^Ryz)→Rxz)			⊦∀x∀y(Rxy→¬Ryx)
		-2.∀x¬Rxx
		┌	3. Rab
		|	┌	4. Rba
		|	|	5. Rab ^ Rba	I^3,2
		|	|	6. Rab ^Rba --> Raa	E∀1 (x:a, y: b, z:a)
		|	|	7. Raa	E→5,6
		|	|	8. ¬Raa	E∀2 (x:a)E
		|	┗	9. Raa^¬Raa	i^7,8
		┗	10. ¬Rba		i^4-9
		11. Rab --> ¬Rba			i→3-10
		12. ∀x∀y(Rxy→¬Ryx)			i∀11

NIVEL 3

[Ejercicio 17]
-1.∀x(Px→ Qx)		⊦∀x(∀y(Px^Ryx)→∀y(Qx ^Ryx))
┌	1. ∀y(Pa^Rya)
|	2. Pa ^ Rba	E∀1 (y:b)
|	3. Pa	E^2
|	4. Pa→ Qa	E∀1 (x:a)
|	5. Qa	E→3,4
|	6. Rba	E^2
|	7.Qa ^ Rba	I^5,6
┗	8. ∀y(Qa^Rya)	I∀7 (b:y)
9. ∀y(Pa^Rya) →∀y(Qa^Rya		I→1-8
10. ∀x(∀y(Px^Ryx)→∀y(Qx ^Ryx))		I∀9 (a:x)

 

[Ejercicio 18]
-1.∀x(Px→( ∀y(Qy^Ryz)↔¬Sx))	⊦∀x((Px^∀y¬(Qy^Ryx))→ ¬Sx)

 

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